18.14 • Um mergulhador observa uma bolha de ar ascendendo do fundo de um lago (onde a pressão absoluta é igual a
) até a superfície (onde a pressão é
). A temperatura no fundo do lago é
e a temperatura na superfície é
.
(a) Qual é a razão entre o volume da bolha quando ela atinge a superfície e o volume da bolha no fundo do lago? (b) Seria seguro para o mergulhador reter a respiração enquanto ascende do fundo do lago até a superfície? Justifique sua resposta.
18.15 ⋅ Um tanque metálico com volume de 3.10 L deve es-
(a) Qual é a razão entre o volume da bolha quando ela atinge a superfície e o volume da bolha no fundo do lago? (b) Seria seguro para o mergulhador reter a respiração enquanto ascende do fundo do lago até a superfície? Justifique sua resposta.
18.15 ⋅ Um tanque metálico com volume de 3.10 L deve es-
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (retirei estes números do enunciado):
- Pressão no fundo:
. - Pressão na superfície:
. - Temperatura no fundo:
. - Temperatura na superfície:
.
- Pressão no fundo:
-
O enunciado pede:
- (a) Calcular a razão entre o volume da bolha ao atingir a superfície e o volume da bolha no fundo, ou seja,
. - (b) Dizer se é seguro o mergulhador reter a respiração enquanto sobe do fundo à superfície e justificar a resposta.
- (a) Calcular a razão entre o volume da bolha ao atingir a superfície e o volume da bolha no fundo, ou seja,
Passo 2
Qual é a lei que vamos usar e por quê.
- Modelo físico: a bolha de ar pode ser tratada como um gás ideal de quantidade fixa de matéria (n constante) enquanto sobe, porque não há troca relevante de massa entre bolha e água. Para um gás ideal vale a equação de estado
onde
é a pressão absoluta,
é o volume,
é o número de mols (constante aqui),
é a constante dos gases e
é a temperatura absoluta em kelvin.
- A partir de
para dois estados do mesmo conjunto de gás (subscritos 1 e 2) obtemos a forma combinada:
Desse modo isolamos a razão desejada:
- Importante: as temperaturas devem estar em kelvin. A conversão é
Agora converto as temperaturas dadas:
Passo 3
Substituir os números na fórmula e calcular cuidadosamente passo a passo.
- A expressão para a razão é
- Substituindo
, , e :
- Calculemos a fração de temperaturas primeiro:
- Agora multiplico por
:
- Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação numérica curta: a bolha fica cerca de 3,74 vezes maior ao atingir a superfície do que era no fundo.
Passo 4
Explicação física didática (para entender o que fiz e poder aplicar na prova).
- A combinação das leis de Boyle (pressão × volume constante a temperatura fixa) e de Charles (volume proporcional à temperatura a pressão fixa) fica condensada em
constante quando o número de mols é fixo. Assim, se a pressão cai e a temperatura aumenta, o volume cresce mais do que apenas pelo efeito da pressão. - Convertemos temperaturas para kelvin porque a relação entre volume e temperatura é linear apenas em escala absoluta (kelvin). Nunca usar graus Celsius direto nas fórmulas.
Passo 5
Responder a parte (b) com justificativa física clara e exemplo numérico para ficar convincente.
- Pergunta: seria seguro o mergulhador reter a respiração enquanto sobe? Resposta direta: não — não é seguro.
- Justificativa física simples e concreta:
- Se uma quantidade fixa de ar nos pulmões não pode escapar (respirar presa), então durante a subida o ar dentro dos pulmões sofrerá exatamente a mesma expansão que calculamos para a bolha: o volume de ar tende a aumentar em um fator aproximado de
, porque a pressão externa diminui e a temperatura muda. - Os pulmões e a caixa torácica têm capacidade limitada; um aumento do volume do ar em quase quatro vezes provoca grande sobrepressão e pode romper tecido pulmonar. Lesões possíveis: barotrauma pulmonar, pneumotórax (pulmão colapsado) e embolia gasosa arterial — todas condições potencialmente fatais.
- Se uma quantidade fixa de ar nos pulmões não pode escapar (respirar presa), então durante a subida o ar dentro dos pulmões sofrerá exatamente a mesma expansão que calculamos para a bolha: o volume de ar tende a aumentar em um fator aproximado de
- Exemplo numérico ilustrativo (para ver que não é só teoria): suponha que o ar nos pulmões no fundo ocupasse
(um valor típico de volume inspirado). Subindo, esse volume tenderia a passar a
valor impossível para um pulmão humano sem lesão grave. Mesmo começando com volumes menores, o aumento é grande o suficiente para causar danos.
- Conclusão prática: o mergulhador deve manter a respiração normal (respirar) durante a subida ou expirar conforme necessário para permitir que o ar escape e evitar a expansão perigosa. Relembrando: nunca prender a respiração ao subir.
Passo 6
Recapitulando de forma motivadora: você aprendeu a usar a lei combinada dos gases passo a passo — converteu temperaturas, aplicou a fórmula, fez a conta sem pular etapas e entendeu a implicação prática de segurança. Vai dar certo na prova; respira fundo (mas não prenda a respiração na subida)!
Resposta
(a)
(b) Não. Não é seguro: o ar nos pulmões expandiria cerca de vezes, o que pode causar barotrauma pulmonar, pneumotórax ou embolia; deve-se expirar/respirar normalmente durante a subida.
(b) Não. Não é seguro: o ar nos pulmões expandiria cerca de