18.14 • Um mergulhador observa uma bolha de ar ascendendo do fundo de um lago (onde a pressão absoluta é igual a 3,50 \mathrm{~atm} ) até a superfície (onde a pressão é 1,00 \mathrm{~atm} ). A temperatura no fundo do lago é 4,0^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura na superfície é 23,0^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual é a razão entre o volume da bolha quando ela atinge a superfície e o volume da bolha no fundo do lago? (b) Seria seguro para o mergulhador reter a respiração enquanto ascende do fundo do lago até a superfície? Justifique sua resposta.
18.15 ⋅ Um tanque metálico com volume de 3.10 L deve es-

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (retirei estes números do enunciado):
    • Pressão no fundo: P_1 = 3,50\\ \text{atm}.
    • Pressão na superfície: P_2 = 1,00\\ \text{atm}.
    • Temperatura no fundo: T_1 = 4{,}0^\circ\text{C}.
    • Temperatura na superfície: T_2 = 23{,}0^\circ\text{C}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Calcular a razão entre o volume da bolha ao atingir a superfície e o volume da bolha no fundo, ou seja, V_2/V_1.
    • (b) Dizer se é seguro o mergulhador reter a respiração enquanto sobe do fundo à superfície e justificar a resposta.

Passo 2

Qual é a lei que vamos usar e por quê.
  • Modelo físico: a bolha de ar pode ser tratada como um gás ideal de quantidade fixa de matéria (n constante) enquanto sobe, porque não há troca relevante de massa entre bolha e água. Para um gás ideal vale a equação de estado
PV = nRT,
onde P é a pressão absoluta, V é o volume, n é o número de mols (constante aqui), R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • A partir de PV=nRT para dois estados do mesmo conjunto de gás (subscritos 1 e 2) obtemos a forma combinada:
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}.
Desse modo isolamos a razão desejada:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
  • Importante: as temperaturas devem estar em kelvin. A conversão é
T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273{,}15.
Agora converto as temperaturas dadas:
T_1 = 4{,}0+273{,}15 = 277{,}15\\ \text{K}, \qquad T_2 = 23{,}0+273{,}15 = 296{,}15\\ \text{K}.

Passo 3

Substituir os números na fórmula e calcular cuidadosamente passo a passo.
  • A expressão para a razão é
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
  • Substituindo P_1=3{,}50\\ \text{atm}, P_2=1{,}00\\ \text{atm}, T_1=277{,}15\\ \text{K} e T_2=296{,}15\\ \text{K}:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{3{,}50}{1{,}00}\cdot\frac{296{,}15}{277{,}15}.
  • Calculemos a fração de temperaturas primeiro:
\frac{296{,}15}{277{,}15}=1 + \frac{19{,}00}{277{,}15}\approx 1 + 0{,}0686 = 1{,}0686\\ (\text{aprox.}).
  • Agora multiplico por 3{,}50:
\frac{V_2}{V_1}\approx 3{,}50\times 1{,}0686 \approx 3{,}740\\ (\text{aprox.}).
  • Arredondando com três algarismos significativos:
\frac{V_2}{V_1}\approx 3{,}74.
Interpretação numérica curta: a bolha fica cerca de 3,74 vezes maior ao atingir a superfície do que era no fundo.

Passo 4

Explicação física didática (para entender o que fiz e poder aplicar na prova).
  • A combinação das leis de Boyle (pressão × volume constante a temperatura fixa) e de Charles (volume proporcional à temperatura a pressão fixa) fica condensada em \dfrac{P V}{T}= constante quando o número de mols é fixo. Assim, se a pressão cai e a temperatura aumenta, o volume cresce mais do que apenas pelo efeito da pressão.
  • Convertemos temperaturas para kelvin porque a relação entre volume e temperatura é linear apenas em escala absoluta (kelvin). Nunca usar graus Celsius direto nas fórmulas.

Passo 5

Responder a parte (b) com justificativa física clara e exemplo numérico para ficar convincente.
  • Pergunta: seria seguro o mergulhador reter a respiração enquanto sobe? Resposta direta: não — não é seguro.
  • Justificativa física simples e concreta:
    • Se uma quantidade fixa de ar nos pulmões não pode escapar (respirar presa), então durante a subida o ar dentro dos pulmões sofrerá exatamente a mesma expansão que calculamos para a bolha: o volume de ar tende a aumentar em um fator aproximado de 3{,}74, porque a pressão externa diminui e a temperatura muda.
    • Os pulmões e a caixa torácica têm capacidade limitada; um aumento do volume do ar em quase quatro vezes provoca grande sobrepressão e pode romper tecido pulmonar. Lesões possíveis: barotrauma pulmonar, pneumotórax (pulmão colapsado) e embolia gasosa arterial — todas condições potencialmente fatais.
  • Exemplo numérico ilustrativo (para ver que não é só teoria): suponha que o ar nos pulmões no fundo ocupasse 3{,}0\\ \text{L} (um valor típico de volume inspirado). Subindo, esse volume tenderia a passar a
3{,}0\\ \text{L}\times 3{,}74 \approx 11{,}2\\ \text{L},
valor impossível para um pulmão humano sem lesão grave. Mesmo começando com volumes menores, o aumento é grande o suficiente para causar danos.
  • Conclusão prática: o mergulhador deve manter a respiração normal (respirar) durante a subida ou expirar conforme necessário para permitir que o ar escape e evitar a expansão perigosa. Relembrando: nunca prender a respiração ao subir.

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: você aprendeu a usar a lei combinada dos gases passo a passo — converteu temperaturas, aplicou a fórmula, fez a conta sem pular etapas e entendeu a implicação prática de segurança. Vai dar certo na prova; respira fundo (mas não prenda a respiração na subida)!

Resposta

(a) \dfrac{V_2}{V_1}\approx 3{,}74
(b) Não. Não é seguro: o ar nos pulmões expandiria cerca de 3{,}7 vezes, o que pode causar barotrauma pulmonar, pneumotórax ou embolia; deve-se expirar/respirar normalmente durante a subida.

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