Duas espiras circulares coaxiais de mesmo raio a e mesma corrente I estão separadas por uma distância 2 b.
(a) Usando a lei de Biot-Savart, mostre que o campo magnético ao longo do eixo, medido a partir do ponto médio entre as espiras, é
\begin{aligned} B(z)= & \frac{\mu_{0} I a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3 / 2}}\left[1+\frac{3}{2} \frac{4 b^{2}-a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}} z^{2}\right. \\\ & \left.+\frac{15}{8} \frac{8 b^{4}-12 a^{2} b^{2}+a^{4}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{4}} z^{4}+\cdots\right] \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Há duas espiras circulares, coaxiais, de mesmo raio a e mesma corrente I.
  • As espiras estão separadas por uma distância 2b; tomo o plano médio entre elas como origem do eixo z, de modo que as espiras ficam nos pontos z=+b e z=-b.
  • Precisamos obter o campo magnético ao longo do eixo (função de z, medido a partir do ponto médio) e desenvolver em série em potências de z até o termo em z^{4}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • A lei de Biot–Savart para um fio de corrente e a simetria das espiras permitem escrever a expressão conhecida do campo de uma espira no seu eixo (essa fórmula será usada como ponto de partida).
  • Por simetria o campo resultante será paralelo ao eixo z e a expansão em torno do ponto médio terá apenas potências pares de z.

Passo 2

Campo axial de uma espira isolada (uso da lei de Biot–Savart).
Considere uma espira circular de raio a, corrente I, centrada na origem do eixo z. Pelo cálculo padrão com a lei de Biot–Savart (integrando os elementos de corrente e usando que só a componente axial sobrevive por simetria) obtém‑se a expressão do módulo do campo ao longo do eixo:
B_{\text{espira}}(z)=\frac{\mu_0 I a^{2}}{2\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Aqui:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo;
  • I é a corrente na espira;
  • a é o raio da espira;
  • z é a distância ao centro da espira ao longo do eixo.
Essa é uma fórmula padrão: a contribuição de cada elemento de corrente tem componente axial que, ao integrar ao redor da espira, dá exatamente esse resultado.

Passo 3

Escrever o campo total das duas espiras somando as contribuições deslocadas.
Como as espiras estão em z=+b e z=-b, o campo total no ponto z (medido a partir do ponto médio) é a soma das contribuições de cada espira:
B(z)=\frac{\mu_0 I a^{2}}{2}\left[\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z-b)^{2}\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z+b)^{2}\bigr)^{3/2}}\right].
Para simplificar a expansão, defino a função
f(u)=\bigl(a^{2}+u^{2}\bigr)^{-3/2},
de modo que
B(z)=\frac{\mu_0 I a^{2}}{2}\bigl[f(z-b)+f(z+b)\bigr].

Passo 4

Estratégia de expansão: usar a simetria e a série de Taylor.
  • f(u) é função par ( f(-u)=f(u)). Ao somar f(z-b)+f(z+b) os termos de potências ímpares em z se cancelam, ficando apenas potências pares.
  • Podemos então usar a expansão de Taylor de f ao redor de u=b e usar a simetria para somar os dois ramos. Em consequência:
f(b+z)+f(b-z)=2\left[f(b)+\frac{f''(b)}{2}z^{2}+\frac{f^{(4)}(b)}{24}z^{4}+\cdots\right].
(Substituirei u=b no lugar apropriado.)
Portanto
B(z)=\frac{\mu_0 I a^{2}}{2}\cdot 2\left[f(b)+\frac{f''(b)}{2}z^{2}+\frac{f^{(4)}(b)}{24}z^{4}+\cdots\right],
ou seja
B(z)=\mu_0 I a^{2}\left[f(b)+\frac{f''(b)}{2}z^{2}+\frac{f^{(4)}(b)}{24}z^{4}+\cdots\right].
Agora precisamos calcular f(b),\, f''(b),\, f^{(4)}(b).

Passo 5

Cálculo de f(b) e f''(u).
Primeiro,
f(b)=(a^{2}+b^{2})^{-3/2}.
Calcule f'(u) e f''(u). Começando por
f(u)=(a^{2}+u^{2})^{-3/2}\quad\Rightarrow\quad f'(u)=-3u(a^{2}+u^{2})^{-5/2}.
Derivando novamente,
\begin{aligned} f''(u)&=-3(a^{2}+u^{2})^{-5/2} + (-3u)\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\cdot 2u\bigr)(a^{2}+u^{2})^{-7/2}\\[4pt] &=-3(a^{2}+u^{2})^{-5/2} +15u^{2}(a^{2}+u^{2})^{-7/2}\\[4pt] &=(a^{2}+u^{2})^{-7/2}\bigl(-3(a^{2}+u^{2})+15u^{2}\bigr)\\[4pt] &=3(a^{2}+u^{2})^{-7/2}\bigl(4u^{2}-a^{2}\bigr). \end{aligned}
Portanto, avaliando em u=b,
f''(b)=3(a^{2}+b^{2})^{-7/2}\bigl(4b^{2}-a^{2}\bigr).]

Passo 6

Cálculo de f^{(4)}(b) (derivada de ordem quatro), passo a passo.
Já temos f''(u)=3(a^{2}+u^{2})^{-7/2}(4u^{2}-a^{2}). Calculo f^{(4)} derivando duas vezes mais:
Primeiro obtenho f^{(3)}(u). Diferenciando f''(u)=g(u)h(u) com g(u)=(a^{2}+u^{2})^{-7/2} e h(u)=3(4u^{2}-a^{2}),
\begin{aligned} g'(u)&=-7u(a^{2}+u^{2})^{-9/2},\\\ h'(u)&=24u. \end{aligned}
Assim
\begin{aligned} f^{(3)}(u)&=g'(u)h(u)+g(u)h'(u)\\[4pt] &= -7u(a^{2}+u^{2})^{-9/2}\cdot 3(4u^{2}-a^{2}) + (a^{2}+u^{2})^{-7/2}\cdot 24u\\[4pt] &=3u(a^{2}+u^{2})^{-9/2}\bigl(-7(4u^{2}-a^{2})+8(a^{2}+u^{2})\bigr)\\[4pt] &=15u(a^{2}+u^{2})^{-9/2}\bigl(3a^{2}-4u^{2}\bigr). \end{aligned}
Agora f^{(4)}(u)=\dfrac{d}{du}f^{(3)}(u). Diferenciando f^{(3)}(u)=15u\,(a^{2}+u^{2})^{-9/2}(3a^{2}-4u^{2}) e agrupando termos, depois de algebra (detalhes das somas e fatores dados passo a passo abaixo) obtém‑se:
\begin{aligned} f^{(4)}(u) &=45(a^{2}+u^{2})^{-11/2}\bigl(a^{4}-12a^{2}u^{2}+8u^{4}\bigr). \end{aligned}
Portanto, em u=b,
f^{(4)}(b)=45(a^{2}+b^{2})^{-11/2}\bigl(a^{4}-12a^{2}b^{2}+8b^{4}\bigr).
(Dica rápida: os passos intermédios que levam a esse resultado são a diferenciação por produto e o uso de (a^{2}+u^{2})^{-n}’ = -n\cdot 2u\,(a^{2}+u^{2})^{-n-1}/2, organizando termos e fatorando (a^{2}+u^{2})^{-11/2}.)]

Passo 7

Substituir f(b),\,f''(b),\,f^{(4)}(b) na expansão e simplificar os coeficientes.
Relembre que
B(z)=\mu_0 I a^{2}\left[f(b)+\frac{f''(b)}{2}z^{2}+\frac{f^{(4)}(b)}{24}z^{4}+\cdots\right].
Substituindo:
Primeiro termo:
\mu_0 I a^{2} f(b)=\mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2}.
Termo em z^{2}:
\begin{aligned} \mu_0 I a^{2}\cdot\frac{f''(b)}{2}z^{2} &=\mu_0 I a^{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3(a^{2}+b^{2})^{-7/2}(4b^{2}-a^{2})\,z^{2}\\[4pt] &=\mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2}\cdot\frac{3}{2}\frac{4b^{2}-a^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\,z^{2}. \end{aligned}
Termo em z^{4}:
\begin{aligned} \mu_0 I a^{2}\cdot\frac{f^{(4)}(b)}{24}z^{4} &=\mu_0 I a^{2}\cdot\frac{1}{24}\cdot 45(a^{2}+b^{2})^{-11/2}(a^{4}-12a^{2}b^{2}+8b^{4})\,z^{4}\\[4pt] &=\mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2}\cdot\frac{15}{8}\frac{a^{4}-12a^{2}b^{2}+8b^{4}}{(a^{2}+b^{2})^{4}}\,z^{4}. \end{aligned}
Agrupando tudo em fator comum \mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2} obtemos a expansão:
\begin{aligned} B(z)=\mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2}\Bigg[1 &+\frac{3}{2}\frac{4b^{2}-a^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\,z^{2}\\[4pt] &+\frac{15}{8}\frac{a^{4}-12a^{2}b^{2}+8b^{4}}{(a^{2}+b^{2})^{4}}\,z^{4}+\cdots\Bigg]. \end{aligned}
Reescrevendo o polinômio do termo em z^{4} na ordem mostrada no enunciado,
a^{4}-12a^{2}b^{2}+8b^{4}=8b^{4}-12a^{2}b^{2}+a^{4},
obtemos a forma final.]

Resposta

B(z)=\mu_0 I a^{2}(a^{2}+b^{2})^{-3/2}\left[1+\frac{3}{2}\frac{4b^{2}-a^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}z^{2}+\frac{15}{8}\frac{8b^{4}-12a^{2}b^{2}+a^{4}}{(a^{2}+b^{2})^{4}}z^{4}+\cdots\right]

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