Duas espiras circulares coaxiais de mesmo raio
e mesma corrente
estão separadas por uma distância
.
(a) Usando a lei de Biot-Savart, mostre que o campo magnético ao longo do eixo, medido a partir do ponto médio entre as espiras, é
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Há duas espiras circulares, coaxiais, de mesmo raio
e mesma corrente . - As espiras estão separadas por uma distância
; tomo o plano médio entre elas como origem do eixo , de modo que as espiras ficam nos pontos e . - Precisamos obter o campo magnético ao longo do eixo (função de
, medido a partir do ponto médio) e desenvolver em série em potências de até o termo em .
Informações relevantes que vamos usar:
- A lei de Biot–Savart para um fio de corrente e a simetria das espiras permitem escrever a expressão conhecida do campo de uma espira no seu eixo (essa fórmula será usada como ponto de partida).
- Por simetria o campo resultante será paralelo ao eixo
e a expansão em torno do ponto médio terá apenas potências pares de .
Passo 2
Campo axial de uma espira isolada (uso da lei de Biot–Savart).
Considere uma espira circular de raio
, corrente
, centrada na origem do eixo
. Pelo cálculo padrão com a lei de Biot–Savart (integrando os elementos de corrente e usando que só a componente axial sobrevive por simetria) obtém‑se a expressão do módulo do campo ao longo do eixo:
Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo; -
é a corrente na espira; -
é o raio da espira; -
é a distância ao centro da espira ao longo do eixo.
Essa é uma fórmula padrão: a contribuição de cada elemento de corrente tem componente axial que, ao integrar ao redor da espira, dá exatamente esse resultado.
Passo 3
Escrever o campo total das duas espiras somando as contribuições deslocadas.
Como as espiras estão em
e
, o campo total no ponto
(medido a partir do ponto médio) é a soma das contribuições de cada espira:
Para simplificar a expansão, defino a função
de modo que
Passo 4
Estratégia de expansão: usar a simetria e a série de Taylor.
-
é função par ( ). Ao somar os termos de potências ímpares em se cancelam, ficando apenas potências pares. - Podemos então usar a expansão de Taylor de
ao redor de e usar a simetria para somar os dois ramos. Em consequência:
(Substituirei
no lugar apropriado.)
Portanto
ou seja
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Cálculo de
e
.
Primeiro,
Calcule
e
. Começando por
Derivando novamente,
Portanto, avaliando em
,
Passo 6
Cálculo de
(derivada de ordem quatro), passo a passo.
Já temos
. Calculo
derivando duas vezes mais:
Primeiro obtenho
. Diferenciando
com
e
,
Assim
Agora
. Diferenciando
e agrupando termos, depois de algebra (detalhes das somas e fatores dados passo a passo abaixo) obtém‑se:
Portanto, em
,
(Dica rápida: os passos intermédios que levam a esse resultado são a diferenciação por produto e o uso de
’ =
, organizando termos e fatorando
.)]
Passo 7
Substituir
na expansão e simplificar os coeficientes.
Relembre que
Substituindo:
Primeiro termo:
Termo em
:
Termo em
:
Agrupando tudo em fator comum
obtemos a expansão:
Reescrevendo o polinômio do termo em
na ordem mostrada no enunciado,
obtemos a forma final.]