Usando a expressão de Biot-Savart para o campo de uma carga em movimento,
derive a expressão para o campo magnético de uma corrente retilínea infinita e mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão diferencial do campo magnético gerado por uma carga em movimento (forma pontual do Biot–Savart):
e pede duas coisas: (1) derive a expressão do campo magnético produzido por uma corrente retilínea infinita (isto é, um fio infinito com corrente estacionária
) em um ponto a uma distância
do fio; (2) mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Informações e objetivos claros:
- Dado: expressão diferencial
para uma carga movendo-se com velocidade . - Queremos: expressão do campo magnético
para um fio retilíneo e infinito com corrente . - Mostrar igualdade com o resultado de Ampère, que para esse caso afirma (em palavras) que a circulação do campo magnético em uma circunferência centrada no fio vale
.
Passo 2
Passo conceitual importante: transformar a expressão para uma carga em movimento na expressão apropriada para um elemento de corrente.
Explicação do que significam as grandezas e a relação que vamos usar:
-
é a corrente elétrica, definida por (carga por unidade de tempo). - Um pequeno grupo de cargas
desloca-se com velocidade . Em um tempo esse grupo percorre um deslocamento . - Multiplicando
por e usando obtemos
Portanto, para uma corrente contínua e localizada ao longo de um fio, podemos substituir na fórmula do Biot–Savart a combinação
por
, obtendo a forma usual do Biot–Savart para um elemento de corrente:
Aqui:
-
é um vetor elemento de comprimento na direção da corrente (magnitude ); -
é o vetor que vai do elemento de corrente ao ponto onde se calcula ; -
e .
Passo 3
Escolha de coordenadas e expressão do integrando (geometria do problema).
Escolhemos um fio infinito alinhado com o eixo
. Tomemos o ponto
onde queremos
localizado no plano
a uma distância radial
do eixo, por exemplo em
(coordenadas cartesianas). Um elemento de corrente no fio, em coordenada
, está em
. Então:
- O vetor posição do ponto
é . - O vetor posição da fonte é
. - O vetor que vai da fonte ao ponto é
- O módulo é
- O elemento de corrente é
(a corrente sobe no sentido ).
Agora calculamos o produto vetorial que aparece em
:
porque
. Usando a regra da mão direita para base cartesiana,
. Assim
Como
, pode-se escrever
. Substituindo na expressão do Biot–Savart em termos de corrente:
Observação física sobre direção: o vetor
aqui é tangencial ao círculo centrado no fio que passa por
; em coordenadas cilíndricas essa direção é
. O campo resultante será puramente azimutal (
) pela simetria.
Passo 4
Integração ao longo do fio (de
a
).
O campo total é a integral de
sobre todo o fio:
Precisamos calcular a integral
Fazemos a substituição trigonométrica usual: ponha
. Então
e
Substituindo:
A integral
vale
. Logo
Substituindo de volta em
:
Agora interpretamos a direção
: para o ponto
escolhido em
a direção
é tangencial positiva, ou seja
. Pela simetria de rotação em torno do fio, para um ponto qualquer a distância
do fio o vetor unitário tangencial é
. Assim podemos escrever de forma geral:
Passo 5
Verificação por Ampère (mostrando que os resultados coincidem).
A lei integral de Ampère (no vácuo, em regime estacionário) afirma:
onde
é a corrente atravessando a superfície limitada pela curva fechada
.
Escolha a curva
como uma circunferência de raio
centrada no fio. Pela simetria:
-
tem direção tangencial e módulo constante ao longo da circunferência; -
é também tangencial e ; - Portanto
.
Integrando:
Pela lei de Ampère isso deve ser igual a
. Assim
Direção:
. Portanto Ampère dá
exatamente o mesmo resultado obtido pela integração do Biot–Savart.