Usando a expressão de Biot-Savart para o campo de uma carga em movimento,
\mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q \vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}},
derive a expressão para o campo magnético de uma corrente retilínea infinita e mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão diferencial do campo magnético gerado por uma carga em movimento (forma pontual do Biot–Savart):
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{q\,\vec{v}\times\hat{r}}{r^{2}},
e pede duas coisas: (1) derive a expressão do campo magnético produzido por uma corrente retilínea infinita (isto é, um fio infinito com corrente estacionária I) em um ponto a uma distância \rho do fio; (2) mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Informações e objetivos claros:
  • Dado: expressão diferencial \mathrm{d}\vec{B} para uma carga q movendo-se com velocidade \vec{v}.
  • Queremos: expressão do campo magnético \vec{B} para um fio retilíneo e infinito com corrente I.
  • Mostrar igualdade com o resultado de Ampère, que para esse caso afirma (em palavras) que a circulação do campo magnético em uma circunferência centrada no fio vale \mu_{0}I.

Passo 2

Passo conceitual importante: transformar a expressão para uma carga em movimento na expressão apropriada para um elemento de corrente.
Explicação do que significam as grandezas e a relação que vamos usar:
  • I é a corrente elétrica, definida por I=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} (carga por unidade de tempo).
  • Um pequeno grupo de cargas \mathrm{d}q desloca-se com velocidade \vec{v}. Em um tempo \mathrm{d}t esse grupo percorre um deslocamento \mathrm{d}\vec{\ell}=\vec{v}\,\mathrm{d}t.
  • Multiplicando \mathrm{d}q por \vec{v} e usando \mathrm{d}q = I\,\mathrm{d}t obtemos
\mathrm{d}q\,\vec{v} = I\,\mathrm{d}t\,\vec{v} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell}.
Portanto, para uma corrente contínua e localizada ao longo de um fio, podemos substituir na fórmula do Biot–Savart a combinação q\vec{v} por I\,\mathrm{d}\vec{\ell}, obtendo a forma usual do Biot–Savart para um elemento de corrente:
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r}}{r^{2}}.
Aqui:
  • \mathrm{d}\vec{\ell} é um vetor elemento de comprimento na direção da corrente (magnitude \mathrm{d}\ell);
  • \vec{r} é o vetor que vai do elemento de corrente ao ponto onde se calcula \vec{B};
  • r=\lVert\vec{r}\rVert e \hat{r}=\vec{r}/r.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão do integrando (geometria do problema).
Escolhemos um fio infinito alinhado com o eixo z. Tomemos o ponto P onde queremos \vec{B} localizado no plano z=0 a uma distância radial \rho do eixo, por exemplo em (\rho,0,0) (coordenadas cartesianas). Um elemento de corrente no fio, em coordenada z', está em (0,0,z'). Então:
  • O vetor posição do ponto P é \vec{r}_P=\rho\,\hat{x}.
  • O vetor posição da fonte é \vec{r}'=z'\,\hat{z}.
  • O vetor que vai da fonte ao ponto é
\vec{r}=\vec{r}_P-\vec{r}'=\rho\,\hat{x}-z'\,\hat{z}.
  • O módulo é
r=\sqrt{\rho^{2}+{z'}^{2}}.
  • O elemento de corrente é \mathrm{d}\vec{\ell}=\hat{z}\,\mathrm{d}z' (a corrente sobe no sentido \hat{z}).
Agora calculamos o produto vetorial que aparece em \mathrm{d}\vec{B}:
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}=(\hat{z}\,\mathrm{d}z')\times(\rho\,\hat{x}-z'\,\hat{z}) = \rho\,\mathrm{d}z'\,(\hat{z}\times\hat{x}) + 0,
porque \hat{z}\times\hat{z}=0. Usando a regra da mão direita para base cartesiana, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}. Assim
\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}=\rho\,\mathrm{d}z'\,\hat{y}.
Como \hat{r}=\vec{r}/r, pode-se escrever \mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r}=(\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r})/r. Substituindo na expressão do Biot–Savart em termos de corrente:
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}I\,\frac{\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{r}}{r^{3}} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}I\,\frac{\rho\,\mathrm{d}z'\,\hat{y}}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Observação física sobre direção: o vetor \hat{y} aqui é tangencial ao círculo centrado no fio que passa por P; em coordenadas cilíndricas essa direção é \hat{\varphi}. O campo resultante será puramente azimutal ( \hat{\varphi}) pela simetria.

Passo 4

Integração ao longo do fio (de -\infty a +\infty).
O campo total é a integral de \mathrm{d}\vec{B} sobre todo o fio:
\vec{B}=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\vec{B} =\frac{\mu_{0}I\rho}{4\pi}\,\hat{y}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Precisamos calcular a integral
\mathcal{I}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{(\rho^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Fazemos a substituição trigonométrica usual: ponha z'=\rho\tan\theta. Então \mathrm{d}z'=\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta e
\rho^{2}+{z'}^{2}=\rho^{2}(1+\tan^{2}\theta)=\rho^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo:
\mathcal{I}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{\bigl(\rho^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2}} =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\rho\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{\rho^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{1}{\rho^{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.
A integral \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta vale 2. Logo
\mathcal{I}=\frac{2}{\rho^{2}}.
Substituindo de volta em \vec{B}:
\vec{B}=\frac{\mu_{0}I\rho}{4\pi}\,\hat{y}\cdot\frac{2}{\rho^{2}} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{y}.
Agora interpretamos a direção \hat{y}: para o ponto P escolhido em (\rho,0,0) a direção \hat{y} é tangencial positiva, ou seja \hat{\varphi}. Pela simetria de rotação em torno do fio, para um ponto qualquer a distância \rho do fio o vetor unitário tangencial é \hat{\varphi}. Assim podemos escrever de forma geral:
\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{\varphi}.

Passo 5

Verificação por Ampère (mostrando que os resultados coincidem).
A lei integral de Ampère (no vácuo, em regime estacionário) afirma:
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\mu_{0}I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada pela curva fechada \mathcal{C}.
Escolha a curva \mathcal{C} como uma circunferência de raio \rho centrada no fio. Pela simetria:
  • \vec{B} tem direção tangencial \hat{\varphi} e módulo constante ao longo da circunferência;
  • \mathrm{d}\vec{\ell} é também tangencial e \mathrm{d}\vec{\ell}=\hat{\varphi}\,\rho\,\mathrm{d}\varphi;
  • Portanto \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=B\,\rho\,\mathrm{d}\varphi.
Integrando:
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=B\int_{0}^{2\pi}\rho\,\mathrm{d}\varphi=2\pi\rho\,B.
Pela lei de Ampère isso deve ser igual a \mu_{0}I. Assim
2\pi\rho\,B=\mu_{0}I \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}.
Direção: \hat{\varphi}. Portanto Ampère dá
\vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{\varphi},
exatamente o mesmo resultado obtido pela integração do Biot–Savart.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{\varphi}

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