18.40 Estime a condutividade elétrica a 135^{\circ} \mathrm{C} para o silício que foi dopado com 10^{24} \mathrm{~m}^{-3} átomos de alumínio.

Passo 1

O enunciado pede a condutividade elétrica de silício do tipo‐p (dopado com átomos de alumínio) à temperatura de 135^\circ\mathrm{C}. O conteúdo envolvido é o de semicondutores: usamos a relação
\sigma = q\,(n\,\mu_n + p\,\mu_p)
e determinamos a concentração de portadores p e a mobilidade de buracos \mu_p àquela temperatura.

Passo 2

Convertendo unidades, temos
T = 135^\circ\mathrm{C} + 273 = 408\;\mathrm{K},
e a concentração de aceitadores
N_A = 10^{24}\;\mathrm{m^{-3}}.
Em semicondutores de silício com dopagem N_A\sim10^{24}\,\mathrm{m^{-3}}, assume‐se ionização completa, logo a concentração de buracos majoritários é
p \approx N_A = 10^{24}\;\mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Para verificar que a contribuição intrínseca é desprezível, calculamos a concentração intrínseca aproximada
n_i(T) = n_{i0}\,\biggl(\frac{T}{300}\biggr)^{3/2} \exp\!\Bigl[-\frac{E_g}{2k_B}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{300}\Bigr)\Bigr],
com n_{i0}=10^{16}\,\mathrm{m^{-3}}, E_g=1{,}12\;\mathrm{eV}, k_B=8{,}617\times10^{-5}\;\mathrm{eV/K}. Numérica‐mente obtém‐se n_i\sim5\times10^{18}\,\mathrm{m^{-3}}\ll N_A, de modo que n\approx n_i^2/N_A é muito pequeno e pode ser desprezado.

Passo 4

Precisamos da mobilidade de buracos \mu_p em T=408\;\mathrm{K}. Para N_A=10^{24}\,\mathrm{m^{-3}} (ou 10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}), a mobilidade a 300\;\mathrm{K} vale cerca de 120\;\mathrm{cm^2/(V\,s)}. Convertendo para o SI e ajustando pela dependência aproximada \mu_p\propto T^{-2{,}2}, temos
\mu_p(408) = 120\times10^{-4}\,\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{V\,s}} \Bigl(\frac{408}{300}\Bigr)^{-2{,}2} \approx 6{,}1\times10^{-3}\;\mathrm{m^2/(V\,s)}.

Passo 5

Agora calculamos a condutividade, desprezando a contribuição dos elétrons:
\sigma = q\,p\,\mu_p = (1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C})\,(10^{24}\,\mathrm{m^{-3}})\,(6{,}1\times10^{-3}\,\mathrm{m^2/V\,s}) \approx 9,7\times10^2\;\mathrm{S/m}.

Resposta

A condutividade elétrica estimada é \sigma\approx9,7\times10^2\;\mathrm{S/m}.

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