18.80 • DADOS Um cilindro de aço com paredes rígidas é evacuado até um alto grau de vácuo; depois, você coloca uma pequena quantidade de hélio no cilindro. Este possui um manômetro de pressão que mede a pressão do gás em seu interior. Você coloca o cilindro em ambientes com diversas temperaturas, espera que o equilíbrio térmico seja estabelecido e depois mede a pressão do gás. Os resultados são os seguintes:
seja tratado como um gás ıdeal e ıgnore a varıaçāo no volume do cilindro quando a temperatura é alterada. (b) Use o coeficiente da expansão volumétrica para o aço na Tabela 17.2 para calcular a variação percentual no volume do cilindro entre as temperaturas mais baixa e mais alta na tabela. É correto ignorar a variação de volume do cilindro quando a temperatura varia? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela na imagem fornecida).
Dados (extraídos da imagem):
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
O enunciado pede (duas partes implícitas):
- (a) Tratar o hélio como gás ideal e, a partir desses dados de pressão medida em vários
, usar a relação apropriada para extrair uma conclusão (isto é: verificar a proporcionalidade e estimar o zero absoluto extrapolando até zero). - (b) Usar o coeficiente de expansão volumétrica do aço (Tabela 17.2) para calcular a variação percentual no volume do cilindro entre a temperatura mais baixa e a mais alta da tabela e decidir se é correto ignorar essa variação ao analisar os dados.
Passo 2
Conceito e equação que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
- Para um gás ideal com quantidade de gás
fixa e volume fixo, a lei dos gases ideais diz:
onde
é a temperatura absoluta em kelvin. Como
,
e
são constantes, temos
- Se expressarmos temperatura em graus Celsius (denotados por
), então . Logo a relação entre e é linear:
onde
é a inclinação (Pa por °C) e
é a ordenada em
. Extrapolando para
obtemos a estimativa do zero absoluto em graus Celsius:
- Explicação dos símbolos:
-
: pressão medida (Pa). -
: temperatura em °C. -
: taxa de variação de por °C (Pa/°C). -
: pressão quando (Pa).
-
Passo 3
Escolha do método e justificativa.
- Para estimar
e vamos ajustar uma reta . Como temos vários pontos e queremos uma estimativa simples e robusta, uso os dois pontos extremos da tabela e . Justificativa: usar a maior faixa de temperatura reduz erros relativos na estimativa da inclinação e dá boa aproximação linear para este experimento simples (pelo enunciado assume-se comportamento aproximadamente ideal).
Passo 4
Cálculo da inclinação
e da ordenada
usando os dois pontos extremos.
- Diferenças:
- Inclinação:
(Explicando o cálculo:
.)
- Ordenada
(usar um dos pontos, por exemplo o segundo):
Calcule passo a passo:
Passo 5
Extrapolação para
para obter o zero absoluto em °C.
- Usando
:
- Interpretação didática: isso significa que, se a relação fosse perfeitamente linear e o comportamento ideal mantido, a pressão cairia a zero por volta de
. O valor real conhecido do zero absoluto é ; a diferença (≈ ) pode vir de imprecisões experimentais, pequenas não-idealidades do gás, leitura do manômetro ou expansão do volume do recipiente.
Passo 6
Discussão sobre possíveis fontes de erro (aula curta).
- Fontes que explicam a discrepância ~
: - Erro de leitura do manômetro e dos termômetros.
- Hélio muito rarefeito: efeitos de não-idealidade mínimos, mas possíveis.
- Variação do volume do cilindro com a temperatura (expansão térmica do aço) — isto altera ligeiramente a relação
assumida se não for exatamente constante.
- Próximo passo é quantificar essa variação de volume para ver se ela é relevante.
Passo 7
Observação sobre a Tabela 17.2 e o coeficiente de expansão volumétrica.
- O enunciado pede que se use o coeficiente da expansão volumétrica do aço da Tabela 17.2. Essa tabela não foi enviada aqui, então não é possível usar exatamente o valor daquela tabela específica sem que ela seja fornecida.
- Para poder continuar com um cálculo numérico e dar uma resposta útil, vou usar um valor típico de referência para o aço: o coeficiente de expansão linear do aço é tipicamente
. O coeficiente volumétrico aproximado é (razão: para pequenas variações tridimensionais ), logo:
Obs.: isto é uma suposição razoável; se a Tabela 17.2 do seu livro der outro valor, substitua
pelo valor da tabela e repita o cálculo abaixo.
Passo 8
Fórmula e cálculo da variação percentual no volume entre as temperaturas extremas.
- Fórmula para pequenas variações:
onde
.
- Aqui:
- Então, com
:
- Em porcentagem:
Passo 9
Interpretação: é correto ignorar a variação de volume?
- Um aumento de volume de aproximadamente
é pequeno. Para o experimento aqui (pressões na faixa de algumas centenas a poucos milhares de pascais), uma variação de volume dessa ordem produziria uma variação inversa na pressão de cerca de (porque, para gás ideal e temperatura fixa, ; mais precisamente, a expansão do recipiente faz com que, para a mesma , a pressão real seja ~ menor do que se o volume fosse absolutamente fixo). - Comparando com a precisão dos dados (diferenças de pressão grandes entre extremos) e o erro observado na estimativa do zero absoluto (~
), uma variação de volume de é um efeito pequeno porém não totalmente desprezível. Para uma análise aproximada (como estimar o zero absoluto) a aproximação de volume constante é razoável; para uma análise de alta precisão, deve-se levar em conta a expansão térmica do cilindro. - Conclusão prática: para fins do exercício e da estimativa do zero absoluto, é aceitável ignorar a variação de volume (erro pequeno comparado às incertezas experimentais), mas é bom estar ciente de que esse efeito existe e que inclui uma contribuição da ordem de
– .
Resposta
(a) Estimativa do zero absoluto:
(b) Com obtém-se
; portanto, ignorar a variação do volume é razoável para uma análise aproximada, mas não totalmente desprezível para medições de alta precisão.
(b) Com