18.80 • DADOS Um cilindro de aço com paredes rígidas é evacuado até um alto grau de vácuo; depois, você coloca uma pequena quantidade de hélio no cilindro. Este possui um manômetro de pressão que mede a pressão do gás em seu interior. Você coloca o cilindro em ambientes com diversas temperaturas, espera que o equilíbrio térmico seja estabelecido e depois mede a pressão do gás. Os resultados são os seguintes:
seja tratado como um gás ıdeal e ıgnore a varıaçāo no volume do cilindro quando a temperatura é alterada. (b) Use o coeficiente da expansão volumétrica para o aço na Tabela 17.2 para calcular a variação percentual no volume do cilindro entre as temperaturas mais baixa e mais alta na tabela. É correto ignorar a variação de volume do cilindro quando a temperatura varia? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela na imagem fornecida).
Dados (extraídos da imagem):
  • T=-195{,}8^\circ\mathrm{C}, P=254\\ \mathrm{Pa}.
  • T=0{,}0^\circ\mathrm{C}, P=890\\ \mathrm{Pa}.
  • T=33{,}3^\circ\mathrm{C}, P=999\\ \mathrm{Pa}.
  • T=100{,}0^\circ\mathrm{C}, P=1{,}214\\ \mathrm{Pa}.
  • T=232{,}0^\circ\mathrm{C}, P=1{,}635\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede (duas partes implícitas):
  • (a) Tratar o hélio como gás ideal e, a partir desses dados de pressão medida em vários T, usar a relação apropriada para extrair uma conclusão (isto é: verificar a proporcionalidade P\propto T e estimar o zero absoluto extrapolando P até zero).
  • (b) Usar o coeficiente de expansão volumétrica do aço (Tabela 17.2) para calcular a variação percentual no volume do cilindro entre a temperatura mais baixa e a mais alta da tabela e decidir se é correto ignorar essa variação ao analisar os dados.

Passo 2

Conceito e equação que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Para um gás ideal com quantidade de gás n fixa e volume V fixo, a lei dos gases ideais diz:
P V = n R T_{\mathrm{K}}
onde T_{\mathrm{K}} é a temperatura absoluta em kelvin. Como n, R e V são constantes, temos
P \propto T_{\mathrm{K}}.
  • Se expressarmos temperatura em graus Celsius (denotados por T), então T_{\mathrm{K}} = T + 273{,}15. Logo a relação entre P e T é linear:
P = a\,T + b,
onde a é a inclinação (Pa por °C) e b é a ordenada em T=0^\circ\mathrm{C}. Extrapolando para P=0 obtemos a estimativa do zero absoluto em graus Celsius:
T_{\text{zero}} = -\frac{b}{a}.
  • Explicação dos símbolos:
    • P: pressão medida (Pa).
    • T: temperatura em °C.
    • a: taxa de variação de P por °C (Pa/°C).
    • b: pressão quando T=0^\circ\mathrm{C} (Pa).

Passo 3

Escolha do método e justificativa.
  • Para estimar a e b vamos ajustar uma reta P=aT+b. Como temos vários pontos e queremos uma estimativa simples e robusta, uso os dois pontos extremos da tabela (T_1,P_1)=(-195{,}8^\circ\mathrm{C},254\\ \mathrm{Pa}) e (T_2,P_2)=(232{,}0^\circ\mathrm{C},1635\\ \mathrm{Pa}). Justificativa: usar a maior faixa de temperatura reduz erros relativos na estimativa da inclinação e dá boa aproximação linear para este experimento simples (pelo enunciado assume-se comportamento aproximadamente ideal).

Passo 4

Cálculo da inclinação a e da ordenada b usando os dois pontos extremos.
  • Diferenças:
\Delta P = P_2-P_1 = 1635-254 = 1381\\ \mathrm{Pa},
\Delta T = T_2-T_1 = 232 - (-195{,}8) = 427{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Inclinação:
a = \frac{\Delta P}{\Delta T} = \frac{1381}{427{,}8}\\ \mathrm{Pa/^\circ C}\approx 3{,}228\\ \mathrm{Pa/^\circ C}.
(Explicando o cálculo: 427{,}8\times3{,}228\approx1381.)
  • Ordenada b (usar um dos pontos, por exemplo o segundo):
b = P_2 - a T_2 = 1635 - (3{,}228)(232)\\ \mathrm{Pa}.
Calcule passo a passo:
(3{,}228)(232) = 3{,}228\times200 + 3{,}228\times32 = 645{,}6 + 103{,}296 = 748{,}896\\ \mathrm{Pa},
b \approx 1635 - 748{,}896 = 886{,}104\\ \mathrm{Pa}\approx 886{,}10\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Extrapolação para P=0 para obter o zero absoluto em °C.
  • Usando T_{\text{zero}} = -\dfrac{b}{a}:
T_{\text{zero}} = -\frac{886{,}104}{3{,}228}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx -274{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação didática: isso significa que, se a relação fosse perfeitamente linear e o comportamento ideal mantido, a pressão cairia a zero por volta de -274{,}7^\circ\mathrm{C}. O valor real conhecido do zero absoluto é -273{,}15^\circ\mathrm{C}; a diferença (≈ 1{,}6^\circ\mathrm{C}) pode vir de imprecisões experimentais, pequenas não-idealidades do gás, leitura do manômetro ou expansão do volume do recipiente.

Passo 6

Discussão sobre possíveis fontes de erro (aula curta).
  • Fontes que explicam a discrepância ~ 1{,}6^\circ\mathrm{C}:
    • Erro de leitura do manômetro e dos termômetros.
    • Hélio muito rarefeito: efeitos de não-idealidade mínimos, mas possíveis.
    • Variação do volume do cilindro com a temperatura (expansão térmica do aço) — isto altera ligeiramente a relação P\propto T_{\mathrm{K}} assumida se V não for exatamente constante.
  • Próximo passo é quantificar essa variação de volume para ver se ela é relevante.

Passo 7

Observação sobre a Tabela 17.2 e o coeficiente de expansão volumétrica.
  • O enunciado pede que se use o coeficiente da expansão volumétrica do aço da Tabela 17.2. Essa tabela não foi enviada aqui, então não é possível usar exatamente o valor daquela tabela específica sem que ela seja fornecida.
  • Para poder continuar com um cálculo numérico e dar uma resposta útil, vou usar um valor típico de referência para o aço: o coeficiente de expansão linear do aço é tipicamente \alpha\approx 1{,}2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. O coeficiente volumétrico aproximado é \beta \approx 3\alpha (razão: para pequenas variações tridimensionais \beta\approx 3\alpha), logo:
\beta \approx 3{,}6\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Obs.: isto é uma suposição razoável; se a Tabela 17.2 do seu livro der outro valor, substitua \beta pelo valor da tabela e repita o cálculo abaixo.

Passo 8

Fórmula e cálculo da variação percentual no volume entre as temperaturas extremas.
  • Fórmula para pequenas variações:
\frac{\Delta V}{V} \approx \beta\,\Delta T,
onde \Delta T = T_{\text{máx}}-T_{\text{mín}}áí.
  • Aqui:
\Delta T = 232{,}0 - (-195{,}8) = 427{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Então, com \beta \approx 3{,}6\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
\frac{\Delta V}{V} \approx (3{,}6\times10^{-5})(427{,}8)\approx 0{,}0154.
  • Em porcentagem:
\frac{\Delta V}{V}\times100\% \approx 1{,}54\%.

Passo 9

Interpretação: é correto ignorar a variação de volume?
  • Um aumento de volume de aproximadamente 1{,}5\% é pequeno. Para o experimento aqui (pressões na faixa de algumas centenas a poucos milhares de pascais), uma variação de volume dessa ordem produziria uma variação inversa na pressão de cerca de 1{,}5\% (porque, para gás ideal e temperatura fixa, P\propto1/V; mais precisamente, a expansão do recipiente faz com que, para a mesma T_{\mathrm{K}}, a pressão real seja ~ 1{,}5\% menor do que se o volume fosse absolutamente fixo).
  • Comparando com a precisão dos dados (diferenças de pressão grandes entre extremos) e o erro observado na estimativa do zero absoluto (~ 1{,}6^\circ\mathrm{C}), uma variação de volume de 1{,}5\% é um efeito pequeno porém não totalmente desprezível. Para uma análise aproximada (como estimar o zero absoluto) a aproximação de volume constante é razoável; para uma análise de alta precisão, deve-se levar em conta a expansão térmica do cilindro.
  • Conclusão prática: para fins do exercício e da estimativa do zero absoluto, é aceitável ignorar a variação de volume (erro pequeno comparado às incertezas experimentais), mas é bom estar ciente de que esse efeito existe e que inclui uma contribuição da ordem de 1\% 2\%.

Resposta

(a) Estimativa do zero absoluto: T_{\text{zero}}\approx -274{,}7^\circ\mathrm{C}.
(b) Com \beta\approx3{,}6\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} obtém-se \Delta V/V\approx1{,}54\%; portanto, ignorar a variação do volume é razoável para uma análise aproximada, mas não totalmente desprezível para medições de alta precisão.

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