ISOLANDO JANELAS. Uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar. A condutividade térmica k de um gás depende de seu calor específico molar C_{V}, massa molar M e raio molecular r. A dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por k \propto C_{V} / r^{2} \sqrt{M}. Os gases nobres possuem propriedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes. Os gases nobres variam desde o hélio (massa molar 4,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,13 \mathrm{~nm} ) ao xenônio (massa molar 131 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,22 \mathrm{~nm} ). (O gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio, mas o radônio é radioativo e, portanto, não é adequado para essa finalidade.)
18.86 Estime a razão entre a condutividade térmica do Xe e a do He. (a) 0,015 ; (b) 0,061 ; (c) 0,10 ; (d) 0,17 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: estimar a razão entre a condutividade térmica do xenônio e a do hélio, ou seja calcular \dfrac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}}, e escolher entre as alternativas (a)–(d).
  • Dados fornecidos:
    • Massa molar do hélio: M_{\text{He}} = 4{,}0\\ \text{g/mol}.
    • Massa molar do xenônio: M_{\text{Xe}} = 131\\ \text{g/mol}.
    • Raio molecular do hélio: r_{\text{He}} = 0{,}13\\ \text{nm}.
    • Raio molecular do xenônio: r_{\text{Xe}} = 0{,}22\\ \text{nm}.
  • Fórmula aproximada dada no enunciado (atenção à interpretação): a condutividade térmica de um gás depende como
k \propto \frac{C_V}{r^{2}\,\sqrt{M}}.
Vou usar esses dados para estimar \dfrac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e por que ela tem essa forma (explicação didática curta e concreta).
  • A condutividade térmica de um gás pode ser pensada como a capacidade das moléculas de transportar energia: esquematicamente
k \sim C_V \times \text{(velocidade típica das moléculas)} \times \text{(comprimento livre médio)}.íéé
  • A velocidade térmica típica de moléculas escala como \propto 1/\sqrt{M} (mais massa → mais lento), onde M é a massa molar.
  • O comprimento livre médio \lambda depende inversamente da seção de choque entre moléculas, que escala com r^2; então \lambda \propto 1/r^2.
  • Combinando, obtém-se a dependência dada:
k \propto \frac{C_V}{r^{2}\,\sqrt{M}}.
  • Observação importante: para gases nobres (monoatômicos) o calor específico molar à volume constante é o mesmo (aproximadamente) para todos: C_V \approx \tfrac{3}{2}R. Logo, ao formar uma razão entre dois gases nobres, o fator C_V cancela.

Passo 3

Escrever a razão solicitada e simplificá‑la usando o cancelamento de C_V.
  • A razão entre as condutividades é
\frac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}} = \frac{C_{V,\text{Xe}}}{C_{V,\text{He}}}\\ \frac{r_{\text{He}}^{2}}{r_{\text{Xe}}^{2}}\\ \sqrt{\frac{M_{\text{He}}}{M_{\text{Xe}}}}.
  • Como C_{V,\text{Xe}}\approx C_{V,\text{He}} para gases monoatômicos, temos
\frac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}} \approx \frac{r_{\text{He}}^{2}}{r_{\text{Xe}}^{2}}\\ \sqrt{\frac{M_{\text{He}}}{M_{\text{Xe}}}}.

Passo 4

Calcular passo a passo os fatores numéricos.
  • Primeiro o fator de raios:
\frac{r_{\text{He}}}{r_{\text{Xe}}}=\frac{0{,}13}{0{,}22}=\frac{13}{22}\approx 0{,}5909.
Então
\frac{r_{\text{He}}^{2}}{r_{\text{Xe}}^{2}}\approx (0{,}5909)^{2}\approx 0{,}349.
  • Agora o fator da massa molar:
\frac{M_{\text{He}}}{M_{\text{Xe}}}=\frac{4{,}0}{131}\approx 0{,}030534,
logo
\sqrt{\frac{M_{\text{He}}}{M_{\text{Xe}}}}\approx \sqrt{0{,}030534}\approx 0{,}1747.
  • Multiplicando os dois fatores:
\frac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}} \approx 0{,}349\times 0{,}1747 \approx 0{,}06097\approx 0{,}061.

Passo 5

Interpretação final e comparação com as alternativas.
  • O valor estimado é \dfrac{k_{\text{Xe}}}{k_{\text{He}}}\approx 0{,}061.
  • Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 0,061

Exercícios relacionados