ISOLANDO JANELAS. Uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar. A condutividade térmica k de um gás depende de seu calor específico molar C_{V}, massa molar M e raio molecular r. A dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por k \propto C_{V} / r^{2} \sqrt{M}. Os gases nobres possuem propriedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes. Os gases nobres variam desde o hélio (massa molar 4,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,13 \mathrm{~nm} ) ao xenônio (massa molar 131 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,22 \mathrm{~nm} ). (O gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio, mas o radônio é radioativo e, portanto, não é adequado para essa finalidade.)
18.85 Qual é o motivo para os gases nobres serem preferíveis ao ar (que é principalmente nitrogênio e oxigênio) como um material isolante? (a) Os gases nobres são monoatômicos e, portanto, nenhum modo rotacional contribui para o calor específico molar; (b) os gases nobres são monoatômicos e, portanto, possuem menores massas moleculares que o nitrogênio e o oxigênio; (c) os raios moleculares nos gases nobres são muito maiores que os dos gases que consistem em moléculas diatômicas; (d) como os gases nobres são monoatômicos, eles possuem muito mais graus de liberdade que as moléculas diatômicas, e seu calor específico molar é reduzido pelo número de graus de liberdade.

Passo 1

O enunciado dá a dependência aproximada da condutividade térmica de um gás:
k \propto \frac{C_{V}}{r^{2}\sqrt{M}},
onde cada símbolo significa:
  • k: condutividade térmica do gás;
  • C_{V}: calor específico molar a volume constante (por mol);
  • r: raio molecular (uma medida do “tamanho” da molécula/átomo);
  • M: massa molar do gás.
A pergunta pede justificar por que os gases nobres são preferíveis ao ar (principalmente \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2) como material isolante, escolhendo entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Entendendo a fórmula: como k depende das variáveis no numerador/denominador.
  • Se C_{V} aumenta, então k aumenta (maior capacidade de transportar energia por colisões), logo gás menos isolante.
  • Se r aumenta, o denominador r^{2} aumenta e k diminui (melhor isolante).
  • Se M aumenta, \sqrt{M} aumenta, o denominador aumenta e k diminui (melhor isolante).
Portanto, para um gás ser um bom isolante queremos, em princípio, um C_{V} pequeno, e r e M grandes (ou seja, pequenos numerador e grande denominador).

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre calor específico molar e graus de liberdade (equipartição), sem pular passos:
  • A teoria clássica da equipartição diz que, para cada grau de liberdade quadraticamente dependente da energia, a energia média por molécula é \tfrac{1}{2}k_B T. Para a capacidade térmica molar, isso dá a relação
C_{V}=\frac{f}{2}R,
onde:
  • f é o número de graus de liberdade por molécula (translação + rotação + vibração, quando excitadas),
  • R é a constante dos gases perfeitos (por mol).
  • Para gases monoatômicos (átomos nobres), só existem 3 graus de liberdade de translação: f=3. Logo
C_{V,\text{mono}}=\frac{3}{2}R.
  • Para moléculas diatômicas como \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2, à temperatura ambiente os modos de rotação estão ativos e as vibrações geralmente não estão excitadas; assim f\approx 5 (3 translação + 2 rotação), logo
C_{V,\text{diatômico}}\approx\frac{5}{2}R.ô

Passo 4

Calculemos a razão entre os calores específicos molares para ver o efeito numérico:
\frac{C_{V,\text{mono}}}{C_{V,\text{diatômico}}}=\frac{\tfrac{3}{2}R}{\tfrac{5}{2}R}=\frac{3}{5}=0{,}6.ô
Isto significa que, por mole, um gás monoatômico tem cerca de 60\% do C_{V} de uma molécula diatômica típica. Como k é proporcional a C_{V}, esse menor C_{V} tende a diminuir k — ou seja, tornar o gás um melhor isolante.

Passo 5

Interpretação prática: a razão física principal é que gases monoatômicos (nobres) não têm modos rotacionais (nem modos vibracionais ativos) que aumentem \,C_{V}\,. Menos modos disponíveis significa menos energia armazenada por colisão e, portanto, menor condução térmica por transporte de energia molecular — tudo isso reduz k.

Passo 6

Agora analiso rapidamente as outras alternativas para explicar por que elas estão incorretas:
  • (b) “monoatômicos portanto possuem menores massas moleculares…” — isto não é uma conclusão geral: alguns gases nobres (por ex. xenônio) têm massa molar muito maior que \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2. Logo a afirmação de que monoatômicos têm menores massas molares que nitrogênio/oxigênio é falsa como regra geral.
  • (c) “os raios moleculares nos gases nobres são muito maiores…” — não é verdade em geral que os raios dos átomos nobres sejam muito maiores que os das moléculas diatômicas; além disso, o enunciado dá valores típicos que mostram fibras próximas (por exemplo, hélio tem raio pequeno, xenônio maior). Portanto afirmar “muito maiores” é enganoso e não é a razão principal.
  • (d) “como são monoatômicos, possuem muito mais graus de liberdade e seu C_{V} é reduzido” — isto é contraditório e errado: monoatômicos têm menos graus de liberdade (só 3 translação), não “muito mais”. A conclusão está invertida.

Passo 7

Resumo da lógica: o fator que aparece na lei proposta e que tips the balance é C_{V}. Gases nobres sendo monoatômicos têm C_{V}=\tfrac{3}{2}R enquanto diatômicos têm cerca de \tfrac{5}{2}R; esse menor C_{V} reduz k e torna os gases nobres melhores isolantes. Outros efeitos (massa molar, raio) podem ajudar especialmente para os nobres mais pesados (Ar, Kr, Xe), mas a razão essencial e geral que explica a preferência dada no enunciado é a ausência de modos rotacionais — isto é, a menor contribuição para C_{V}.

Resposta

(a)

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