ISOLANDO JANELAS. Uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar. A condutividade térmica
de um gás depende de seu calor específico molar
, massa molar
e raio molecular
. A dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por
. Os gases nobres possuem propriedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes. Os gases nobres variam desde o hélio (massa molar
, raio molecular
) ao xenônio (massa molar
, raio molecular
). (O gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio, mas o radônio é radioativo e, portanto, não é adequado para essa finalidade.)
18.85 Qual é o motivo para os gases nobres serem preferíveis ao ar (que é principalmente nitrogênio e oxigênio) como um material isolante? (a) Os gases nobres são monoatômicos e, portanto, nenhum modo rotacional contribui para o calor específico molar; (b) os gases nobres são monoatômicos e, portanto, possuem menores massas moleculares que o nitrogênio e o oxigênio; (c) os raios moleculares nos gases nobres são muito maiores que os dos gases que consistem em moléculas diatômicas; (d) como os gases nobres são monoatômicos, eles possuem muito mais graus de liberdade que as moléculas diatômicas, e seu calor específico molar é reduzido pelo número de graus de liberdade.
Passo 1
O enunciado dá a dependência aproximada da condutividade térmica de um gás:
onde cada símbolo significa:
-
: condutividade térmica do gás; -
: calor específico molar a volume constante (por mol); -
: raio molecular (uma medida do “tamanho” da molécula/átomo); -
: massa molar do gás.
A pergunta pede justificar por que os gases nobres são preferíveis ao ar (principalmente
e
) como material isolante, escolhendo entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).
Passo 2
Entendendo a fórmula: como
depende das variáveis no numerador/denominador.
- Se
aumenta, então aumenta (maior capacidade de transportar energia por colisões), logo gás menos isolante. - Se
aumenta, o denominador aumenta e diminui (melhor isolante). - Se
aumenta, aumenta, o denominador aumenta e diminui (melhor isolante).
Portanto, para um gás ser um bom isolante queremos, em princípio, um
pequeno, e
e
grandes (ou seja, pequenos numerador e grande denominador).
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre calor específico molar e graus de liberdade (equipartição), sem pular passos:
- A teoria clássica da equipartição diz que, para cada grau de liberdade quadraticamente dependente da energia, a energia média por molécula é
. Para a capacidade térmica molar, isso dá a relação
onde:
-
é o número de graus de liberdade por molécula (translação + rotação + vibração, quando excitadas), -
é a constante dos gases perfeitos (por mol). - Para gases monoatômicos (átomos nobres), só existem 3 graus de liberdade de translação:
. Logo
- Para moléculas diatômicas como
e , à temperatura ambiente os modos de rotação estão ativos e as vibrações geralmente não estão excitadas; assim (3 translação + 2 rotação), logo
Passo 4
Calculemos a razão entre os calores específicos molares para ver o efeito numérico:
Isto significa que, por mole, um gás monoatômico tem cerca de
do
de uma molécula diatômica típica. Como
é proporcional a
, esse menor
tende a diminuir
— ou seja, tornar o gás um melhor isolante.
Passo 5
Interpretação prática: a razão física principal é que gases monoatômicos (nobres) não têm modos rotacionais (nem modos vibracionais ativos) que aumentem
. Menos modos disponíveis significa menos energia armazenada por colisão e, portanto, menor condução térmica por transporte de energia molecular — tudo isso reduz
.
Passo 6
Agora analiso rapidamente as outras alternativas para explicar por que elas estão incorretas:
- (b) “monoatômicos portanto possuem menores massas moleculares…” — isto não é uma conclusão geral: alguns gases nobres (por ex. xenônio) têm massa molar muito maior que
e . Logo a afirmação de que monoatômicos têm menores massas molares que nitrogênio/oxigênio é falsa como regra geral. - (c) “os raios moleculares nos gases nobres são muito maiores…” — não é verdade em geral que os raios dos átomos nobres sejam muito maiores que os das moléculas diatômicas; além disso, o enunciado dá valores típicos que mostram fibras próximas (por exemplo, hélio tem raio pequeno, xenônio maior). Portanto afirmar “muito maiores” é enganoso e não é a razão principal.
- (d) “como são monoatômicos, possuem muito mais graus de liberdade e seu
é reduzido” — isto é contraditório e errado: monoatômicos têm menos graus de liberdade (só 3 translação), não “muito mais”. A conclusão está invertida.
Passo 7
Resumo da lógica: o fator que aparece na lei proposta e que tips the balance é
. Gases nobres sendo monoatômicos têm
enquanto diatômicos têm cerca de
; esse menor
reduz
e torna os gases nobres melhores isolantes. Outros efeitos (massa molar, raio) podem ajudar especialmente para os nobres mais pesados (Ar, Kr, Xe), mas a razão essencial e geral que explica a preferência dada no enunciado é a ausência de modos rotacionais — isto é, a menor contribuição para
.
Resposta
(a)