(2.18)Uma esfera de 0,1 cm de raio e densidade igual a 7,5 g cm^-3 se encontra no interior de uma tubulação vertical cujo diâmetro é igual a 1,6 cm. Pela tubulação circula, de baixo para cima, um fluido de viscosidade igual a 3,0 Pa cdot s^-1 e densidade 1,5 g cdot cm^-3. Calcular a vazão do fluido para que a esfera permaneça estacionária.
1
Resposta: phiv=8,76 times 10^-7 m^3 cdot s^-1

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R=0,1 cm e densidade rhos=7,5 g,cm^-3 imersa num fluido que sobe numa tubulação vertical de diâmetro D=1,6 cm. O fluido tem viscosidade eta=3,0 Pa,s e densidade rhof=1,5 g,cm^-3. Queremos achar a vazão volumétrica phiv=Q tal que a esfera fique em repouso, ou seja, o empuxo viscoso para cima compense exatamente o peso efetivo para baixo.

Passo 2

Calculamos o peso efetivo da esfera, isto é, o peso menos o empuxo de Arquimedes. Primeiro o volume da esfera:
Vs=43pi R^3
Convertendo para o SI temos R=0,001 m. O peso efetivo vale
Fg-Fb=(rhos-rhof),Vs,g
com rhos=7500 kg,m^-3, rhof=1500 kg,m^-3 e g=9,8 m/s^2.

Passo 3

A força de arrasto de Stokes sobre a esfera, assumindo o fluido subindo com velocidade média v=Q/A uniforme, é
Fd=6pi,eta,R,v
onde a área da seção da tubulação é
A=pi a^2, a=D2=0,008 m

Passo 4

Em equilíbrio vertical temos
Fd=Fg-Fb Longrightarrow 6pi,eta,R,QA =(rhos-rhof)43pi R^3g
Resolvendo para Q:
Q =(rhos-rhof)43pi R^3g;A6pi,eta,R =29,(rhos-rhof),R^2,g;Aeta

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
A=pi(0,008)^2=2,01times10^-4 m^2, R=0,001 m, rhos-rhof=6000 kg,m^-3,
Q =29,6000,(0,001)^2,9,8;(2,01times10^-4)3,0 approx8,76times10^-7 m^3,s^-1

Resposta

phiv=8,76times10^-7 m^3cdots^-1

Exercícios relacionados