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(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
II. f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f:
(a) Encontrar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
(b) Encontrar os valores locais de máximo e mínimo de f.
(c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
A informação dada é a função
f(x)=x^{4}-2x^{2}+3.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática e direta):
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente. Se f'(x)>0 num intervalo, a função é crescente ali; se f'(x)<0, é decrescente ali. Pontos onde f'(x)=0 ou f' é indefinida são pontos críticos — candidatos a máximos ou mínimos locais.
  • A segunda derivada f''(x) mede a curvatura (concavidade). Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima; se f''(x)<0 é côncava para baixo. Pontos onde f''(x)=0 e a concavidade troca de sinal são pontos de inflexão.
Agora vamos calcular f'(x) passo a passo. Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-4x,\qquad \frac{d}{dx}(3)=0.
Portanto,
f'(x)=4x^{3}-4x.

Passo 3

Fatoramos f'(x) para encontrar os pontos críticos. Fator comum 4x:
f'(x)=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=4x(x-1)(x+1).
Para pontos críticos resolvemos f'(x)=0, ou seja:
4x(x-1)(x+1)=0.
As soluções são
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.
Esses são os pontos críticos. A derivada existe para todo x, então não há outros pontos críticos.

Passo 4

Vamos determinar o sinal de f'(x) em cada intervalo entre os pontos críticos. Os intervalos a testar são (-\infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,\infty). Usamos sinais dos fatores em f'(x)=4x(x-1)(x+1). Lembrete: o fator 4 é positivo sempre, então só olhamos os outros três fatores.
  • Em x<-1 (por exemplo x=-2): x é negativo, x-1 é negativo, x+1 é negativo. Produto: negativo \times negativo \times negativo = negativo. Logo f'(x)<0 em (-\infty,-1).
  • Em -1<x<0 (por exemplo x=-\tfrac{1}{2}): x negativo, x-1 negativo, x+1 positivo. Produto: negativo \times negativo \times positivo = positivo. Logo f'(x)>0 em (-1,0).
  • Em 0<x<1 (por exemplo x=\tfrac{1}{2}): x positivo, x-1 negativo, x+1 positivo. Produto: positivo \times negativo \times positivo = negativo. Logo f'(x)<0 em (0,1).
  • Em x>1 (por exemplo x=2): todos os três fatores positivos, produto positivo. Logo f'(x)>0 em (1,\infty).
Conclusão (resumo do sinal): f' é negativo em (-\infty,-1), positivo em (-1,0), negativo em (0,1) e positivo em (1,\infty).

Passo 5

Usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de f') identificamos máximos e mínimos locais:
  • Em x=-1: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em x=-1. Calculamos o valor:
f(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{2}+3=1-2+3=2.
Então há um mínimo local em \big(-1,2\big).
  • Em x=0: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local em x=0. Calculamos:
f(0)=0^{4}-2\cdot0^{2}+3=3.
Então há um máximo local em \big(0,3\big).
  • Em x=1: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em x=1. Calculamos:
f(1)=1^{4}-2\cdot1^{2}+3=1-2+3=2.
Então há um mínimo local em \big(1,2\big).
Observação simpática: a função é par (simétrica), pois f(-x)=f(x), por isso os mínimos em -1 e 1 têm o mesmo valor.

Passo 6

Agora tratamos concavidade. Calculamos a segunda derivada f''(x) a partir de f'(x)=4x^{3}-4x. Derivando:
f''(x)=12x^{2}-4=4(3x^{2}-1).
Para achar possíveis pontos de inflexão resolvemos f''(x)=0:
4(3x^{2}-1)=0 \Longrightarrow 3x^{2}-1=0 \Longrightarrow x^{2}=\frac{1}{3}.
Portanto
x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Numericamente, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\approx\pm 0{,}577, mas vamos manter a forma exata.

Passo 7

Determinamos o sinal de f''(x)=4(3x^{2}-1) nos intervalos (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}), (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
  • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} temos 3x^{2}-1>0, logo f''(x)>0. Assim f é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e em (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
  • Para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}} temos 3x^{2}-1<0, logo f''(x)<0. Assim f é côncava para baixo em (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}).

Passo 8

Verificamos que em x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}} a segunda derivada muda de sinal (de positivo para negativo ou de negativo para positivo), portanto são pontos de inflexão. Calculamos os valores de f nesses pontos para obter as coordenadas:
Calcule f\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big). Primeiro
\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\tfrac{1}{3},\qquad \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{4}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9}.
Então
f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{1}{9}-2\cdot\tfrac{1}{3}+3=\tfrac{1}{9}-\tfrac{2}{3}+3.
Colocando em nonos:
\tfrac{1}{9}-\tfrac{6}{9}+\tfrac{27}{9}=\tfrac{22}{9}.
Pelo fato da função ser par, f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{22}{9} também.
Portanto os pontos de inflexão são
\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{22}{9}\right)\quad\text{e}\quad\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{22}{9}\right).

Resposta

(a) f é crescente em \displaystyle\left(-1,0\right)\cup\left(1,\infty\right) e decrescente em \displaystyle\left(-\infty,-1\right)\cup\left(0,1\right).\n
(b) Mínimos locais em \displaystyle(-1,2) e \displaystyle(1,2); máximo local em \displaystyle(0,3).\n
(c) f é côncava para cima em \displaystyle\left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty\right), côncava para baixo em \displaystyle\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right). Pontos de inflexão em \displaystyle\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{22}{9}\right) e \displaystyle\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{22}{9}\right).

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