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(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
II.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
II.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
(a) Encontrar os intervalos em que
é crescente ou decrescente.
(b) Encontrar os valores locais de máximo e mínimo de .
(c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(b) Encontrar os valores locais de máximo e mínimo de
(c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
A informação dada é a função
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática e direta):
- A derivada
mede a inclinação da reta tangente. Se num intervalo, a função é crescente ali; se , é decrescente ali. Pontos onde ou é indefinida são pontos críticos — candidatos a máximos ou mínimos locais. - A segunda derivada
mede a curvatura (concavidade). Se a curva é côncava para cima; se é côncava para baixo. Pontos onde e a concavidade troca de sinal são pontos de inflexão.
Agora vamos calcular
passo a passo. Regra usada: a derivada de
é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Derivando termo a termo:
Portanto,
Passo 3
Fatoramos
para encontrar os pontos críticos. Fator comum
:
Para pontos críticos resolvemos
, ou seja:
As soluções são
Esses são os pontos críticos. A derivada existe para todo
, então não há outros pontos críticos.
Passo 4
Vamos determinar o sinal de
em cada intervalo entre os pontos críticos. Os intervalos a testar são
,
,
e
. Usamos sinais dos fatores em
. Lembrete: o fator
é positivo sempre, então só olhamos os outros três fatores.
- Em
(por exemplo ): é negativo, é negativo, é negativo. Produto: negativo negativo negativo = negativo. Logo em . - Em
(por exemplo ): negativo, negativo, positivo. Produto: negativo negativo positivo = positivo. Logo em . - Em
(por exemplo ): positivo, negativo, positivo. Produto: positivo negativo positivo = negativo. Logo em . - Em
(por exemplo ): todos os três fatores positivos, produto positivo. Logo em .
Conclusão (resumo do sinal):
é negativo em
, positivo em
, negativo em
e positivo em
.
Passo 5
Usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de
) identificamos máximos e mínimos locais:
- Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em . Calculamos o valor:
Então há um mínimo local em
.
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local em . Calculamos:
Então há um máximo local em
.
- Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em . Calculamos:
Então há um mínimo local em
.
Observação simpática: a função é par (simétrica), pois
, por isso os mínimos em
e
têm o mesmo valor.
Passo 6
Agora tratamos concavidade. Calculamos a segunda derivada
a partir de
. Derivando:
Para achar possíveis pontos de inflexão resolvemos
:
Portanto
Numericamente,
, mas vamos manter a forma exata.
Passo 7
Determinamos o sinal de
nos intervalos
,
e
.
- Para
temos , logo . Assim é côncava para cima em e em . - Para
temos , logo . Assim é côncava para baixo em .
Passo 8
Verificamos que em
a segunda derivada muda de sinal (de positivo para negativo ou de negativo para positivo), portanto são pontos de inflexão. Calculamos os valores de
nesses pontos para obter as coordenadas:
Calcule
. Primeiro
Então
Colocando em nonos:
Pelo fato da função ser par,
também.
Portanto os pontos de inflexão são
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.\n
(b) Mínimos locais em e
; máximo local em
.\n
(c) é côncava para cima em
, côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
e
.
(b) Mínimos locais em
(c)