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(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
15. f(x)=e^{2 x}+e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f(x)=e^{2x}+e^{-x}:
  • (a) Determinar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
  • (b) Encontrar os valores locais máximos e mínimos de f.
  • (c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas: a fórmula explícita da função é f(x)=e^{2x}+e^{-x}. Não há restrição de domínio — o domínio é (-\infty,\infty). A resolução a seguir vai usar derivadas primeiras e segundas para responder (derivada para monotonia e derivada segunda para concavidade), e vou explicar passo a passo como usar cada conceito.

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada primeira f'(x). Lembrete rápido: a derivada de e^{kx} em relação a x é k e^{kx}. Aplicando termo a termo:
f(x)=e^{2x}+e^{-x}
Logo
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=2e^{2x}+(-1)e^{-x}=2e^{2x}-e^{-x}.
Explico o que isso significa: f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f. Se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente.

Passo 3

Para achar onde f' muda de sinal (e, portanto, possíveis pontos extremos), resolvemos f'(x)=0:
2e^{2x}-e^{-x}=0.
Vamos manipular exponenciais com cuidado. Multiplicamos ambos os lados por e^{x} (positivo para todo x, então não muda desigualdades ou soluções):
e^{x}\bigl(2e^{2x}-e^{-x}\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad 2e^{3x}-1=0.
Isolando o exponencial:
2e^{3x}=1 \quad\Rightarrow\quad e^{3x}=\tfrac{1}{2}.
Agora aplicamos o log natural:
3x=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\ln 2}{3}.
Esse é o único ponto crítico (pois equações exponenciais aqui dão uma só solução). Vou chamar esse ponto de x_c=-\dfrac{\ln 2}{3}.

Passo 4

Agora precisamos decidir o sinal de f'(x) à esquerda e à direita de x_c. É útil fatorar f'(x) para ver o sinal:
f'(x)=2e^{2x}-e^{-x}=e^{-x}\bigl(2e^{3x}-1\bigr).
Observação: e^{-x}>0 para todo x, então o sinal de f'(x) é o mesmo do fator 2e^{3x}-1.
Estudamos g(x)=2e^{3x}-1:
  • Se e^{3x}>\tfrac{1}{2} então g(x)>0 e f'(x)>0.
  • Se e^{3x}<\tfrac{1}{2} então g(x)<0 e f'(x)<0.
Convertendo em desigualdades lineares em x:
e^{3x}>\tfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\\\ 3x>\ln(\tfrac{1}{2})=-\ln2\\ \Leftrightarrow\\ x>-\frac{\ln2}{3}.
E
e^{3x}<\tfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\\ x<-\frac{\ln2}{3}.
Portanto f'(x)<0 para x<-\dfrac{\ln2}{3} e f'(x)>0 para x>-\dfrac{\ln2}{3}.

Passo 5

Interpretação final para (a):
  • f é decrescente em \bigl(-\infty,-\dfrac{\ln 2}{3}\bigr).
  • f é crescente em \bigl(-\dfrac{\ln 2}{3},\infty\bigr).
Como f' muda de negativo para positivo ao passar por x_c, isso indica um mínimo local em x_c.

Passo 6

Para (b) e (c) precisamos da derivada segunda f''(x). Lembrete: derivada de 2e^{2x} é 4e^{2x}; derivada de -e^{-x} é +e^{-x}. Assim:
f''(x)=4e^{2x}+e^{-x}.
Esse é o critério de concavidade: se f''(x)>0 então f é côncava para cima (concavidade para cima); se f''(x)<0 então é côncava para baixo.

Passo 7

Analisando f''(x)=4e^{2x}+e^{-x}: ambos os termos são positivos para todo x (exponenciais sempre >0). Logo
f''(x)>0\quad\text{para todo }x\in(-\infty,\infty).
Conclusões para (c):
  • f é côncava para cima em todo o domínio (-\infty,\infty).
  • Não existem pontos de inflexão porque um ponto de inflexão exige mudança de sinal de f'', e aqui isso não ocorre.

Passo 8

Voltando a (b): calcular o valor mínimo local em x_c=-\dfrac{\ln2}{3}.
Primeiro calculo e^{x_c}. Como x_c=-\dfrac{\ln2}{3},
e^{x_c}=e^{-\frac{\ln2}{3}}=2^{-\frac{1}{3}}.
Então
e^{2x_c}=\bigl(e^{x_c}\bigr)^2=2^{-\frac{2}{3}},\qquad e^{-x_c}=\frac{1}{e^{x_c}}=2^{\frac{1}{3}}.
Assim o valor de f em x_c é
f(x_c)=2^{-\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}.
Podemos simplificar somando termos em potência de 2. Observe que 2^{\frac{1}{3}}=2\cdot 2^{-\frac{2}{3}}. Então
f(x_c)=2^{-\frac{2}{3}}+2\cdot 2^{-\frac{2}{3}}=3\cdot 2^{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}.
Como f''(x_c)>0, esse valor é um mínimo local (na verdade, global também, pois função tende a +\infty quando x\to\pm\infty; mas só nos pediram locais).
Não existe máximo local porque não há ponto onde f' mude de positivo para negativo.

Passo 9

Resumo dos resultados e interpretação final (já com justificativas matemáticas completas):
  • Há um único ponto crítico x_c=-\dfrac{\ln2}{3}.
  • f decresce antes dele e cresce depois, logo é mínimo local em x_c.
  • f''(x)>0 para todo x, então função é côncava para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão.

Resposta

(a) Decrescente em \left(-\infty,-\dfrac{\ln 2}{3}\right). Crescente em \left(-\dfrac{\ln 2}{3},\infty\right).
(b) Mínimo local em x=-\dfrac{\ln 2}{3} com valor f\!\left(-\dfrac{\ln 2}{3}\right)=\dfrac{3}{2^{\tfrac{2}{3}}}. Não há máximo local.
(c) f é côncava para cima em (-\infty,\infty). Não há pontos de inflexão.

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