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(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
15.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
15.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- (a) Determinar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - (b) Encontrar os valores locais máximos e mínimos de
. - (c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas: a fórmula explícita da função é
. Não há restrição de domínio — o domínio é
. A resolução a seguir vai usar derivadas primeiras e segundas para responder (derivada para monotonia e derivada segunda para concavidade), e vou explicar passo a passo como usar cada conceito.
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada primeira
. Lembrete rápido: a derivada de
em relação a
é
. Aplicando termo a termo:
Logo
Explico o que isso significa:
mede a taxa de variação instantânea de
. Se
em um intervalo,
é crescente ali; se
,
é decrescente.
Passo 3
Para achar onde
muda de sinal (e, portanto, possíveis pontos extremos), resolvemos
:
Vamos manipular exponenciais com cuidado. Multiplicamos ambos os lados por
(positivo para todo
, então não muda desigualdades ou soluções):
Isolando o exponencial:
Agora aplicamos o log natural:
Esse é o único ponto crítico (pois equações exponenciais aqui dão uma só solução). Vou chamar esse ponto de
.
Passo 4
Agora precisamos decidir o sinal de
à esquerda e à direita de
. É útil fatorar
para ver o sinal:
Observação:
para todo
, então o sinal de
é o mesmo do fator
.
Estudamos
:
- Se
então e . - Se
então e .
Convertendo em desigualdades lineares em
:
E
Portanto
para
e
para
.
Passo 5
Interpretação final para (a):
-
é decrescente em . -
é crescente em .
Como
muda de negativo para positivo ao passar por
, isso indica um mínimo local em
.
Passo 6
Para (b) e (c) precisamos da derivada segunda
. Lembrete: derivada de
é
; derivada de
é
. Assim:
Esse é o critério de concavidade: se
então
é côncava para cima (concavidade para cima); se
então é côncava para baixo.
Passo 7
Analisando
: ambos os termos são positivos para todo
(exponenciais sempre >0). Logo
Conclusões para (c):
-
é côncava para cima em todo o domínio . - Não existem pontos de inflexão porque um ponto de inflexão exige mudança de sinal de
, e aqui isso não ocorre.
Passo 8
Voltando a (b): calcular o valor mínimo local em
.
Primeiro calculo
. Como
,
Então
Assim o valor de
em
é
Podemos simplificar somando termos em potência de
. Observe que
. Então
Como
, esse valor é um mínimo local (na verdade, global também, pois função tende a
quando
; mas só nos pediram locais).
Não existe máximo local porque não há ponto onde
mude de positivo para negativo.
Passo 9
Resumo dos resultados e interpretação final (já com justificativas matemáticas completas):
- Há um único ponto crítico
. -
decresce antes dele e cresce depois, logo é mínimo local em . -
para todo , então função é côncava para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão.
Resposta
(a) Decrescente em
. Crescente em
.
(b) Mínimo local em
com valor
. Não há máximo local.
(c)
é côncava para cima em
. Não há pontos de inflexão.