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(a) Find the intervals on which f is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of f.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
16. f(x)=x^{2} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para a função f responder três coisas:
  1. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente.
  2. (b) Quais são os valores locais máximo e mínimo de f.
  3. (c) Em quais intervalos a função é côncava para cima/baixo e onde estão os pontos de inflexão.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x)=x^{2}\ln x.
  • Pelo logaritmo natural, o domínio natural da função é \displaystyle x>0. Portanto só consideraremos x>0.

Passo 2

Vamos achar a derivada primeira \displaystyle f'(x) — ela nos diz onde a função cresce ou decresce. Lembrete rápido das regras que vou usar:
  • Regra do produto: se \displaystyle g(x)=u(x)v(x), então \displaystyle g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada do logaritmo: \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x} (válido para x>0).
Aplique ao caso \displaystyle f(x)=x^{2}\ln x. Tome u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x. Então
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\frac{1}{x}.
Pelo produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o último termo,
f'(x)=2x\ln x + x.
Fatorando x,
f'(x)=x\big(2\ln x +1\big).

Passo 3

Encontre os pontos críticos (onde \displaystyle f'(x)=0 ou \displaystyle f' não existe). Como estamos em x>0, a derivada existe para todo x>0. Logo só resolvemos \displaystyle f'(x)=0:
x\big(2\ln x +1\big)=0.
Para x>0 a solução x=0 não pertence ao domínio, então resta
2\ln x +1=0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\tfrac{1}{2}.
Portanto
x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}.
Esse é o único ponto crítico em (0,\infty).

Passo 4

Estudo do sinal de \displaystyle f'(x) para determinar monotonicidade. Observação: em (0,\infty) o fator x é positivo, então o sinal de \displaystyle f'(x) vem do fator \displaystyle 2\ln x +1.
Resolva a desigualdade \displaystyle 2\ln x +1<0:
2\ln x +1<0 \iff \ln x < -\tfrac{1}{2} \iff x < e^{-1/2}.
Assim:
  • Para 0<x<e^{-1/2} temos \displaystyle 2\ln x +1<0, logo \displaystyle f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (0,e^{-1/2}).
  • Para x>e^{-1/2} temos \displaystyle 2\ln x +1>0, logo \displaystyle f'(x)>0. Portanto f é crescente em (e^{-1/2},\infty).
Comportamento no ponto crítico: a derivada muda de negativa para positiva ao atravessar x=e^{-1/2}, o que indica um mínimo local.

Passo 5

Calcule o valor do mínimo local. Avaliando f em x=e^{-1/2}:
f\big(e^{-1/2}\big)=\big(e^{-1/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-1/2}\big)=e^{-1}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\frac{1}{2e}.
Conclusão: há um mínimo local em x=e^{-1/2} com valor -\dfrac{1}{2e}. Não há máximos locais (pois só há esse ponto crítico e a monotonicidade mostra decrescente → crescente).

Passo 6

Agora a concavidade: vamos calcular a derivada segunda \displaystyle f''(x). A partir de \displaystyle f'(x)=x\big(2\ln x +1\big) podemos derivar novamente usando produto e derivada de \ln x.
Derivando,
f''(x)=\frac{d}{dx}\big[x\big(2\ln x +1\big)\big]=1\cdot\big(2\ln x +1\big) + x\cdot\frac{d}{dx}\big(2\ln x +1\big).
Como \displaystyle \frac{d}{dx}(2\ln x +1)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}, obtemos
f''(x)=2\ln x +1 + x\cdot\frac{2}{x}=2\ln x +1 +2=2\ln x +3.

Passo 7

Estudo do sinal de \displaystyle f''(x) para concavidade e pontos de inflexão. Resolva \displaystyle f''(x)=0:
2\ln x +3 =0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\tfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad x=e^{-3/2}.
Novamente x=e^{-3/2} pertence ao domínio (0,\infty).
Determinar sinal:
  • Se 0<x<e^{-3/2}, então \ln x < -\tfrac{3}{2} e 2\ln x +3<0, logo \displaystyle f''(x)<0: função côncava para baixo em (0,e^{-3/2}).
  • Se x>e^{-3/2}, então \ln x > -\tfrac{3}{2} e 2\ln x +3>0, logo \displaystyle f''(x)>0: função côncava para cima em (e^{-3/2},\infty).
Assim x=e^{-3/2} é ponto de inflexão (troca de concavidade). O valor de f nesse ponto é
f\big(e^{-3/2}\big)=\big(e^{-3/2}\big)^{2}\ln\big(e^{-3/2}\big)=e^{-3}\cdot\big(-\tfrac{3}{2}\big)=-\frac{3}{2e^{3}}.

Resposta

(a) f é decrescente em (0,e^{-1/2}) e crescente em (e^{-1/2},\infty).\n(b) Mínimo local em x=e^{-1/2} com valor f(e^{-1/2})=-\dfrac{1}{2e}. Não há máximo local.\n(c) f é côncava para baixo em (0,e^{-3/2}) e côncava para cima em (e^{-3/2},\infty). Ponto de inflexão em \big(e^{-3/2},-\dfrac{3}{2e^{3}}\big).

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