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(a) Find the intervals on which
is increasing or decreasing.
(b) Find the local maximum and minimum values of
.
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
16.
(a) Find the intervals on which
(b) Find the local maximum and minimum values of
(c) Find the intervals of concavity and the inflection points.
16.
Passo 1
O enunciado pede para a função
responder três coisas:
- (a) Em quais intervalos
é crescente ou decrescente. - (b) Quais são os valores locais máximo e mínimo de
. - (c) Em quais intervalos a função é côncava para cima/baixo e onde estão os pontos de inflexão.
Informações fornecidas:
- A função é
. - Pelo logaritmo natural, o domínio natural da função é
. Portanto só consideraremos .
Passo 2
Vamos achar a derivada primeira
— ela nos diz onde a função cresce ou decresce. Lembrete rápido das regras que vou usar:
- Regra do produto: se
, então . - Derivada do logaritmo:
(válido para ).
Aplique ao caso
. Tome
e
. Então
Pelo produto,
Simplificando o último termo,
Fatorando
,
Passo 3
Encontre os pontos críticos (onde
ou
não existe). Como estamos em
, a derivada existe para todo
. Logo só resolvemos
:
Para
a solução
não pertence ao domínio, então resta
Portanto
Esse é o único ponto crítico em
.
Passo 4
Estudo do sinal de
para determinar monotonicidade. Observação: em
o fator
é positivo, então o sinal de
vem do fator
.
Resolva a desigualdade
:
Assim:
- Para
temos , logo . Portanto é decrescente em . - Para
temos , logo . Portanto é crescente em .
Comportamento no ponto crítico: a derivada muda de negativa para positiva ao atravessar
, o que indica um mínimo local.
Passo 5
Calcule o valor do mínimo local. Avaliando
em
:
Conclusão: há um mínimo local em
com valor
. Não há máximos locais (pois só há esse ponto crítico e a monotonicidade mostra decrescente → crescente).
Passo 6
Agora a concavidade: vamos calcular a derivada segunda
. A partir de
podemos derivar novamente usando produto e derivada de
.
Derivando,
Como
, obtemos
Passo 7
Estudo do sinal de
para concavidade e pontos de inflexão. Resolva
:
Novamente
pertence ao domínio
.
Determinar sinal:
- Se
, então e , logo : função côncava para baixo em . - Se
, então e , logo : função côncava para cima em .
Assim
é ponto de inflexão (troca de concavidade). O valor de
nesse ponto é
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.\n(b) Mínimo local em
com valor
. Não há máximo local.\n(c)
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.