O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador exige o uso de um eixo oco com diâmetro interno e externo de 4 pol e 6 pol., respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 12 ksi , determine o torque máximo que pode ser transmitido
(c) por um eixo oco do mesmo peso e de 8 pol de diâmetro externo.
(c) por um eixo oco do mesmo peso e de 8 pol de diâmetro externo.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- eixo oco inicial tem diâmetro externo
e diâmetro interno . - tensão de cisalhamento admissível
. - um novo eixo oco tem diâmetro externo
e deve ter o mesmo peso (mesma área de seção transversal) que o eixo inicial.
- eixo oco inicial tem diâmetro externo
- O que se pede:
- (c) determinar o torque máximo transmissível pelo eixo novo (com
e mesma massa/área que o eixo inicial), respeitando .
- (c) determinar o torque máximo transmissível pelo eixo novo (com
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo didático):
- Área da seção transversal de um eixo circular oco: a área é a área do círculo externo menos a do interno,
onde
é o diâmetro externo e
o diâmetro interno. A massa por unidade de comprimento é proporcional a
, então “mesmo peso” significa mesma
.
- Momento polar de inércia (para torção) de um eixo circular oco:
Aqui
tem unidade
.
- Relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima (tensão na superfície externa) em um eixo circular:
onde
é o torque,
é o raio externo (
) e
é o momento polar. Daí,
Explicando em palavras: o torque causa torção; quanto maior o momento polar
, maior torque é necessário para atingir a mesma tensão. O ponto crítico é na superfície externa (maior raio
).
Passo 3
Encontrar o diâmetro interno do eixo novo (com
) exigido para que a área seja igual à do eixo inicial.
- Calcular a área do eixo inicial (pegando os diâmetros do enunciado):
- Impor igualdade de áreas
para o eixo novo:
Dividindo por
e multiplicando por 4:
Substituindo
:
Logo
(Usamos a raiz positiva porque é um diâmetro.)
Passo 4
Calcular o momento polar
do eixo novo usando
e
.
- Primeiro calcular
. Como , tem-se . - Calcular
. - Diferença:
- Então
Passo 5
Calcular o torque máximo
usando
.
- Raio externo do eixo novo:
- Substituindo
e ,
- Fazer as contas passo a passo:
- Valor numérico (usando
):
Passo 6
Converter para unidades usuais mais amigáveis:
- Em
: dividir por ,
- Em
(1 kip = lb): — mais comum é expressar como (corrigindo: primeiro convertendo para kip·ft direto: ; dividindo por 12 dá ). Para clareza, melhor usar: -
-
-
. (Se preferir arredondar: .)
-