O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador exige o uso de um eixo oco com diâmetro interno e externo de 4 pol e 6 pol., respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 12 ksi , determine o torque máximo que pode ser transmitido
(c) por um eixo oco do mesmo peso e de 8 pol de diâmetro externo.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • eixo oco inicial tem diâmetro externo \,d_{o1}=6\\ \text{in}\, e diâmetro interno \,d_{i1}=4\\ \text{in}\,.
    • tensão de cisalhamento admissível \,\tau_{\text{adm}}=12\\ \text{ksi}=12\,000\\ \text{psi}\,.
    • um novo eixo oco tem diâmetro externo \,d_{o2}=8\\ \text{in}\, e deve ter o mesmo peso (mesma área de seção transversal) que o eixo inicial.
  • O que se pede:
    • (c) determinar o torque máximo transmissível pelo eixo novo (com \,d_{o2}=8\\ \text{in}\, e mesma massa/área que o eixo inicial), respeitando \,\tau_{\text{adm}}=12\\ \text{ksi}\,.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo didático):
  • Área da seção transversal de um eixo circular oco: a área é a área do círculo externo menos a do interno,
A=\frac{\pi}{4}\left(d_o^2-d_i^2\right),
onde \,d_o é o diâmetro externo e \,d_i o diâmetro interno. A massa por unidade de comprimento é proporcional a A, então “mesmo peso” significa mesma A.
  • Momento polar de inércia (para torção) de um eixo circular oco:
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right).
Aqui \,J tem unidade \text{in}^4.
  • Relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima (tensão na superfície externa) em um eixo circular:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde \,T é o torque, \,c é o raio externo ( c=d_o/2) e \,J é o momento polar. Daí,
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Explicando em palavras: o torque causa torção; quanto maior o momento polar J, maior torque é necessário para atingir a mesma tensão. O ponto crítico é na superfície externa (maior raio c).

Passo 3

Encontrar o diâmetro interno do eixo novo (com \,d_{o2}=8\\ \text{in}\,) exigido para que a área seja igual à do eixo inicial.
  • Calcular a área do eixo inicial (pegando os diâmetros do enunciado):
A_1=\frac{\pi}{4}\left(d_{o1}^2-d_{i1}^2\right)=\frac{\pi}{4}\left(6^2-4^2\right)=\frac{\pi}{4}(36-16)=\frac{\pi}{4}\cdot20=5\pi\\ \text{in}^2.
  • Impor igualdade de áreas A_2=A_1 para o eixo novo:
\frac{\pi}{4}\left(d_{o2}^2-d_{i2}^2\right)=5\pi.
Dividindo por \pi e multiplicando por 4:
d_{o2}^2-d_{i2}^2=20.
Substituindo d_{o2}=8:
8^2-d_{i2}^2=20 \quad\Rightarrow\quad 64-d_{i2}^2=20 \quad\Rightarrow\quad d_{i2}^2=44.
Logo
d_{i2}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\approx6{,}633249\\ \text{in}.
(Usamos a raiz positiva porque é um diâmetro.)

Passo 4

Calcular o momento polar J_2 do eixo novo usando d_{o2}=8\\ \text{in} e d_{i2}^2=44.
  • Primeiro calcular d_{i2}^4. Como d_{i2}^2=44, tem-se d_{i2}^4=(d_{i2}^2)^2=44^2=1936.
  • Calcular d_{o2}^4=8^4=4096.
  • Diferença:
d_{o2}^4-d_{i2}^4=4096-1936=2160.
  • Então
J_2=\frac{\pi}{32}\left(d_{o2}^4-d_{i2}^4\right)=\frac{\pi}{32}\cdot2160=\;67{,}5\pi\\ \text{in}^4.

Passo 5

Calcular o torque máximo T_{\max} usando \,T=\dfrac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
  • Raio externo do eixo novo: c_2=\dfrac{d_{o2}}{2}=\dfrac{8}{2}=4\\ \text{in}.
  • Substituindo \tau_{\text{adm}}=12\,000\\ \text{psi} e J_2=67{,}5\pi\\ \text{in}^4,
T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_2}{c_2} =\frac{12\,000\cdot(67{,}5\pi)}{4}\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
  • Fazer as contas passo a passo:
\frac{67{,}5}{4}=16{,}875,
12\,000\times16{,}875=202\,500,
T_{\max}=202\,500\pi\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
  • Valor numérico (usando \pi\approx3{,}14159265):
T_{\max}\approx202\,500\times3{,}14159265\approx636\,172{,}5\\ \text{lb}\cdot\text{in}.

Passo 6

Converter para unidades usuais mais amigáveis:
  • Em \text{lb}\cdot\text{ft}: dividir por 12,
T_{\max}\approx\frac{636\,172{,}5}{12}\approx53\,014{,}38\\ \text{lb}\cdot\text{ft}.
  • Em \text{kip}\cdot\text{ft} (1 kip = 1000 lb): \approx53{,}014{,}38/1000\approx53{,}014{,}38/1000=53{,}01438\\ \text{kip}\cdot\text{ft} — mais comum é expressar como \approx53{,}0\\ \text{kip}\cdot\text{ft} (corrigindo: primeiro convertendo para kip·ft direto: 636{,}172{,}5\\ \text{lb·in}=636{,}172{,}5/1000=636{,}1725\\ \text{kip·in}; dividindo por 12 dá \approx53{,}0144\\ \text{kip·ft}). Para clareza, melhor usar:
    • T_{\max}\approx636{,}173\\ \text{lb}\cdot\text{in}
    • T_{\max}\approx53\,014{,}4\\ \text{lb}\cdot\text{ft}
    • T_{\max}\approx53{,}014{,}4/1000\approx53{,}0144\\ \text{kip}\cdot\text{ft}. (Se preferir arredondar: \approx53{,}0\\ \text{kip}\cdot\text{ft}.)

Resposta

T_{\max}=202{,}500\pi\\ \text{lb}\cdot\text{in}\approx636\,172{,}5\\ \text{lb}\cdot\text{in}
T_{\max}\approx53\,014{,}4\\ \text{lb}\cdot\text{ft}
T_{\max}\approx53{,}0\\ \text{kip}\cdot\text{ft}

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