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Projete um comparador com histerese para controlar uma bomba d’água em um reservatório. Será utilizado um sensor de nível que gera 4 V no nível baixo e 2 V no nível alto. Quando o reservatório atinge o nível baixo, uma bomba de água deve ser ligada e quando atinge o nivel alto, a bomba deve ser desligada. A bomba tem uma entrada de controle que a liga com +12 V e desliga com -12 V .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • O sensor de nível fornece \,4\\ \text{V}\, quando o reservatório está no nível baixo.
    • O sensor de nível fornece \,2\\ \text{V}\, quando o reservatório está no nível alto.
    • A bomba deve ser ligada com \,+12\\ \text{V}\, e desligada com \,-12\\ \text{V}\,.
    • Alimentação disponível para o comparador/op-amp: \pm12\\ \text{V} (pressuposto pelo enunciado do controle da bomba).
  • O que o projeto deve fazer:
    • Quando o sensor indicar \,4\\ \text{V} (nível baixo) a saída deve ir para \,+12\\ \text{V} (bomba ligada).
    • Quando o sensor indicar \,2\\ \text{V} (nível alto) a saída deve ir para \,-12\\ \text{V} (bomba desligada).
    • Portanto precisamos de um comparador com histerese (Schmitt trigger) cujos limiares de comutação sejam \,4\\ \text{V} e \,2\\ \text{V}.

Passo 2

Ideia de solução e escolha do circuito (sem calcular ainda).
  • Um comparador com histerese (Schmitt) realiza exatamente isso: tem dois limiares diferentes (um para subir o sinal, outro para descer).
  • Vou usar a topologia “comparador inversor com realimentação positiva” (inverting Schmitt): a entrada inversora ( -) recebe o sinal do sensor através de um resistor e recebe também realimentação da saída através de outro resistor; a entrada não inversora ( +) recebe uma tensão de referência fixa V_{\text{ref}}.
  • Vantagens dessa escolha:
    • Permite fixar dois limiares distintos e independentes ajustando a relação dos resistores e a V_{\text{ref}}.
    • É fácil fazer com alimentação \pm12\\ \text{V} e comumente usada em problemas práticos.
Agora vou explicar em detalhes como determinar os resistores e V_{\text{ref}}.

Passo 3

Modelo elétrico do nó e fórmula dos limiares — aula rápida de teoria aplicada.
  • Considere o nó da entrada inversora ( V_-). Há um resistor R_1 entre a entrada do sensor ( V_{\text{in}}) e V_-, e um resistor R_2 entre a saída V_{\text{o}} do comparador e V_-. A entrada não inversora recebe uma tensão fixa V_{\text{ref}}.
  • No ponto de comutação ocorre V_- = V_+, ou seja V_- = V_{\text{ref}}.
  • Aplicando divisão de tensão (ou balanço de correntes) no nó V_- obtemos a relação V_{\text{ref}}=\frac{R_2\,V_{\text{in}}+R_1\,V_{\text{o}}}{R_1+R_2}.Explicando essa fórmula: o nó V_- fica em uma média ponderada das tensões nas extremidades dos dois resistores; multiplicando e rearranjando ela dá o valor de V_{\text{in}} que causa igualdade quando a saída está num dado nível V_{\text{o}}.
  • Das equações acima podemos isolar o valor de V_{\text{in}} que provoca a comutação para cada estado da saída:
    • Se V_{\text{o}}=+12\\ \text{V} então o limiar correspondente (chamarei de V_{\text{th+}}) satisfaz V_{\text{th+}}=\frac{(R_1+R_2)\,V_{\text{ref}}-12\,R_1}{R_2}.
    • Se V_{\text{o}}=-12\\ \text{V} então o limiar correspondente (chamarei de V_{\text{th-}}) satisfaz V_{\text{th-}}=\frac{(R_1+R_2)\,V_{\text{ref}}+12\,R_1}{R_2}.
    • Observação: aqui V_{\text{th+}} é o valor de V_{\text{in}} em que, com a saída em +12\\ \text{V}, a igualdade V_-=V_+ ocorre (ou seja o ponto onde a saída pode comutar para -12\\ \text{V} se o sinal continuar a variar). Analogamente para V_{\text{th-}}.

Passo 4

Aplicando os limiares desejados ao modelo e obtendo relações entre resistores e V_{\text{ref}}.
  • Queremos:
    • quando a saída estiver em +12\\ \text{V} (bomba ligada) o circuito deve comutar para desligado quando V_{\text{in}}=2\\ \text{V}. Ou seja, V_{\text{th+}}=2\\ \text{V}.
    • quando a saída estiver em -12\\ \text{V} (bomba desligada) o circuito deve comutar para ligado quando V_{\text{in}}=4\\ \text{V}. Ou seja, V_{\text{th-}}=4\\ \text{V}.
  • Colocando essas condições nas fórmulas: 2=\frac{(R_1+R_2)\,V_{\text{ref}}-12\,R_1}{R_2}, \qquad 4=\frac{(R_1+R_2)\,V_{\text{ref}}+12\,R_1}{R_2}.
  • Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar V_{\text{ref}}: 4-2 = \frac{( (R_1+R_2)V_{\text{ref}}+12R_1)-((R_1+R_2)V_{\text{ref}}-12R_1)}{R_2} =\frac{24\,R_1}{R_2}.Assim 2=\frac{24\,R_1}{R_2}\quad\Rightarrow\quad \frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{12}.Explicando: isso determina a razão entre os resistores de realimentação e o resistor da entrada do sensor.

Passo 5

Escolha prática de resistores e cálculo de V_{\text{ref}}.
  • Escolhemos valores práticos mantendo a razão \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{1}{12}. Por simplicidade tomo R_1=1\\ \text{k}\Omega,\qquad R_2=12\\ \text{k}\Omega.(poderiam ser 10\\ \text{k}\Omega e 120\\ \text{k}\Omega, etc.; a razão importa mais).
  • Agora determinamos V_{\text{ref}} usando qualquer uma das equações (uso a primeira): 2=\frac{(R_1+R_2)\,V_{\text{ref}}-12\,R_1}{R_2} \quad\Rightarrow\quad 2=\frac{13\,V_{\text{ref}}-12}{12}.Multiplicando e isolando V_{\text{ref}}: 24=13\,V_{\text{ref}}-12 \quad\Rightarrow\quad 13\,V_{\text{ref}}=36 \quad\Rightarrow\quad V_{\text{ref}}=\frac{36}{13}\\ \text{V}\approx 2{,}769\\ \text{V}.
  • Como gerar V_{\text{ref}}=\dfrac{36}{13}\\ \text{V} na prática?
    • Use um divisor de tensão simples entre +12\\ \text{V} e o terra (0 V). Para obter exatamente \dfrac{36}{13} usando 12\\ \text{V} como máximo, precisamos que \dfrac{R_b}{R_a+R_b}=\dfrac{3}{13} (porque 12\cdot\dfrac{3}{13}=36/13).
    • Um par prático é R_a=10\\ \text{k}\Omega (entre +12 e V_{\text{ref}}) e R_b=3\\ \text{k}\Omega (entre V_{\text{ref}} e terra), pois V_{\text{ref}}=12\cdot\frac{3}{10+3}=12\cdot\frac{3}{13}=\frac{36}{13}\\ \text{V}.
    • Recomendo colocar um buffer (seguidor) com um op-amp/voltage follower para fornecer V_{\text{ref}} estável à entrada não inversora; ou pelo menos usar resistores com valores não muito baixos para não carregar demais a fonte.

Passo 6

Resumo do circuito final e explicação do funcionamento passo a passo (como se fosse uma aula prática).
  • Conexões principais:
    • Op-amp ou comparador alimentado com \pm12\\ \text{V}.
    • Entrada não inversora ( +): V_{\text{ref}}=\dfrac{36}{13}\\ \text{V} gerada por divisor R_a=10\\ \text{k}\Omega (de +12 a V_{\text{ref}}) e R_b=3\\ \text{k}\Omega (de V_{\text{ref}} ao terra). Opcional: bufferar com um seguidor.
    • Entrada inversora ( -): resistor R_1=1\\ \text{k}\Omega vindo do sensor ( V_{\text{in}}) e resistor R_2=12\\ \text{k}\Omega vindo da saída V_{\text{o}} para o nó -.
    • Saída do comparador V_{\text{o}} conecta diretamente à entrada de controle da bomba (se a entrada da bomba consome corrente muito pequena). Caso a entrada da bomba exija corrente significativa, usar um driver adequado (transistor, estágio push-pull, ou um relé) acionado pela saída do comparador.
  • Operação:
    • Se o reservatório secar e o sensor gerar \,V_{\text{in}}=4\\ \text{V}, então como a saída estará provavelmente em -12\\ \text{V} (bomba desligada), quando V_{\text{in}} ultrapassar o limiar \,V_{\text{th-}}=4\\ \text{V} o comparador comuta para +12\\ \text{V} e liga a bomba.
    • A bomba enche o reservatório; o sensor desce sua tensão até \,2\\ \text{V}. Com a saída em +12\\ \text{V}, o limiar agora é \,V_{\text{th+}}=2\\ \text{V}; quando V_{\text{in}} cair abaixo de 2\\ \text{V} o comparador comuta para -12\\ \text{V} e desliga a bomba.
    • Assim obtém-se histerese entre 4\\ \text{V} (liga) e 2\\ \text{V} (desliga), evitando comutações rápidas por ruído.

Passo 7

Observações práticas, dicas e escolhas de componentes (para a prova e para aplicação real).
  • Escolha do amplificador/comparador:
    • Use um comparador ou op-amp que possa saturar próximo aos \pm12\\ \text{V} (ou use um comparador com saída em coletor aberto e um estágio de pull-up/down). Muitos op-amps não conseguem fornecer exatamente \pm12 na saída; por segurança use um comparador de precisão ou um driver entre saída do comparador e a entrada da bomba.
  • Se a entrada de controle da bomba consome corrente significativa, não ligar diretamente na saída do op-amp — coloque um transistor ou relé. O enunciado diz que a bomba “tem uma entrada de controle que a liga com +12 V e desliga com -12 V”; se for apenas um sinal de comando de baixa corrente, a saída do comparador pode bastar.
  • Tolerâncias e ruído:
    • Devido a tolerâncias dos resistores, os limiares reais variam; use resistores de 1\% se precisar de precisão maior.
    • Coloque um pequeno capacitor de filtragem ou um pequeno atraso se o sensor for ruidoso, mas cuidado para não introduzir resposta lenta demais.
  • Se for pedir simplificar cálculos na prova, vale explicar o passo algébrico que levou a \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{1}{12} e V_{\text{ref}}=\dfrac{36}{13}\\ \text{V}.

Resposta

R1 = 1\\ \text{k}\Omega (entre sensor e entrada -).
R2 = 12\\ \text{k}\Omega (entre saída e entrada -).
Vref = \dfrac{36}{13}\\ \text{V}\approx2{,}769\\ \text{V} (gerada por divisor R_a=10\\ \text{k}\Omega de +12 a V_{\text{ref}} e R_b=3\\ \text{k}\Omega de V_{\text{ref}} ao terra).
Limiar de comutação: liga a bomba em V_{\text{in}}=4\\ \text{V} e desliga em V_{\text{in}}=2\\ \text{V}.

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