18° Questão: ( 3,0 pontos) Qual é a temperatura de um corpo negro em que 95 % da energia emitida estejam compreendidos no espectro de comprimento de onda lambda=0 até 5 mu m ?

Passo 1

Resumo rápido: queremos achar a temperatura de um corpo negro tal que 95% da energia radiada esteja no intervalo de comprimento de onda de 0 até 5 µm. Isso envolve o cálculo da fração cumulativa da lei de Planck.

Passo 2

O conteúdo é radiação de corpo negro e a fração de energia emitida até um certo comprimento de onda. Introduzimos a variável adimensional u = C2lambda T, onde C2 = hck approx 1,4388times10^-2 mcdot K. A fração de energia emitida de 0 até lambda0 é
f(lambda0,T) = 15pi^4integralu0^inftyu^3e^u-1,du , u0 = C2lambda0T

Passo 3

Como queremos f=0,95, escrevemos
1 - 15pi^4integral0^u0u^3e^u-1,du = 0,95 Longrightarrow integral0^u0u^3e^u-1,du = 0,05pi^415 approx 0,3247

Passo 4

Fazendo a integração numérica (por exemplo, regra de Simpson) encontramos aproximadamente u0approx1,155.

Passo 5

Agora isolamos a temperatura:
T = C2lambda0,u0 = 1,4388times10^-2(5times10^-6)(1,155) approx 2,49times10^3 K

Resposta

A temperatura requerida é aproximadamente 2,5times10^3 K.

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