16 (5,0 pontos) Um fio de 10 mm de diâmetro e de 1 m de comprimento dissipa calor a uma taxa de
em função da passagem de uma corrente elétrica. Este cilindro está inserido em um meio que, em uma consideração extrema, pode ser considerada como um isolante perfeito. Através de refrigeração, suas extremidades são mantidas a
e
, cada face. A condutividade térmica é
. Calcule, demonstrando todos os passos:
a) Utilizando volumes finitos as temperaturas em 3 elementos.
b) Os fluxos de calor nas extremidades e centro da barra.
c) Esquematize as isotermas e linhas de fluxo de calor.
a) Utilizando volumes finitos as temperaturas em 3 elementos.
b) Os fluxos de calor nas extremidades e centro da barra.
c) Esquematize as isotermas e linhas de fluxo de calor.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um fio cilíndrico de comprimento total L=1 m e diâmetro D=10 mm, com geração volumétrica uniforme de calor q̇=10⁴ W/m³. As faces em x=0 e x=L são mantidas a T(0)=20 °C e T(L)=40 °C; a superfície lateral é isolada. A condutividade térmica é k=40 W/m·K. Vamos usar volumes finitos com 3 volumes para aproximar as temperaturas nos três pontos médios, depois calcular os fluxos de calor nas extremidades e no centro, e por fim esboçar as isotermas e linhas de fluxo.
Passo 2
Discretização por volumes finitos: Dividimos o comprimento em 3 volumes iguais com Δx=L/3≈0,333 m. Os nós ficam em x₁=Δx/2, x₂=3Δx/2 e x₃=5Δx/2. A área da seção A=πD²/4≈7,85398×10⁻⁵ m². Definimos os coeficientes:
Nós 1 e 3 têm termo de contorno: na borda oeste T(0)=20 °C e na borda leste T(L)=40 °C.
Escrevendo as equações para cada nó:
$$
$$
Passo 3
Solução do sistema: Calculando numericamente kA≈0,0031416 W/K, kA/Δx≈0,0094248 W/K, 2kA/Δx≈0,0188496 W/K e S_u≈0,2618 W, obtemos o sistema linear que, resolvido, fornece:
Passo 4
Cálculo dos fluxos de calor: O fluxo em x=0 é
o flux no centro x=0{,}5 é aproximado por
e em x=1:
Passo 5
Esboço de isotermas e linhas de fluxo: Em 1D, as isotermas são planos perpendiculares ao eixo x, mais espaçados onde o gradiente é menor. As linhas de fluxo de calor seguem o eixo do cilindro, fluindo do lado quente para o lado frio.
Resposta
a) Temperaturas em 3 volumes: T₁≈44,17 °C, T₂≈64,74 °C, T₃≈57,52 °C. b) Fluxos de calor: q(0)≈–0,455 W, q(0,5)≈–0,063 W, q(1)≈+0,330 W. c) As isotermas são planos transversais ao eixo, espaçamento variando conforme o gradiente; as linhas de fluxo seguem axialmente do lado quente ao frio.