(4,0 pontos) Um elemento radioativo em formato esférico de diâmetro 100 mm que está inicialmente a uma temperatura de
e ainda apresenta uma geração volumétrica de
. A esfera é submersa em um banho líquido a
e
durante 1 min e na sequência em outro banho a
e
durante 3 min . Calcule a temperatura desta esfera ao final deste período (4 min). Obtenha as equações a partir do balanço de energia. A hipótese de capacitância global é válida nestes casos? Esboce um gráfico da variação da temperatura com o tempo da esfera.
Propriedades da esfera:
e
Passo 1
O exercício trata de uma esfera com diâmetro de 100 mm, temperatura inicial de 600 °C e geração volumétrica interna de 10^5 W/m^3, que é submetida a dois banhos convectivos sucessivos (1 min em T∞1=100 °C com h1=40 W/m^2K e 3 min em T∞2=50 °C com h2=10 W/m^2K). Precisamos usar o modelo de capacitância global (lumped capacitance) e escrever o balanço de energia transiente com geração interna e convecção na superfície.
Passo 2
Para usar o modelo lumped capacitance, calculamos o número de Biot em cada etapa. O raio da esfera é R=0,05 m e a condutividade k=61 W/mK.
Block:
Block:
Passo 3
Para h1=40 W/m^2K temos
e para h2=10 W/m^2K
Como ambos são menores que 0,1, o modelo lumped é válido.
Passo 4
Escrevemos o balanço de energia:
Passo 5
onde
Passo 6
Definindo
Passo 7
a solução geral é
Passo 8
Calculamos os parâmetros numéricos:
Passo 9
Para o primeiro banho (h1=40 W/m^2K, T∞1=100 °C):
Passo 10
Então
Passo 11
Em t=60 s:
Passo 12
Para o segundo banho (h2=10 W/m^2K, T∞2=50 °C):
Passo 13
Passo 14
Em t’=180 s:
Passo 15
O número de Biot em ambas as etapas é menor que 0,1, logo a hipótese de capacitância global é válida.
O gráfico de T versus t é uma curva exponencial decrescente em dois trechos: de 0 a 1 min tende assintoticamente a ~141,7 °C e de 1 a 4 min a ~216,7 °C, mas como o tempo é curto a temperatura cai pouco.
O gráfico de T versus t é uma curva exponencial decrescente em dois trechos: de 0 a 1 min tende assintoticamente a ~141,7 °C e de 1 a 4 min a ~216,7 °C, mas como o tempo é curto a temperatura cai pouco.
Resposta
A temperatura da esfera após 4 min é aproximadamente 568,3 °C.