(4,0 pontos) Um elemento radioativo em formato esférico de diâmetro 100 mm que está inicialmente a uma temperatura de 600^circ C e ainda apresenta uma geração volumétrica de 10^5 W / m^3. A esfera é submersa em um banho líquido a Tinfty=100^circ C e Tinfty=50^circ C durante 1 min e na sequência em outro banho a rho=7.895 kg / m^2, cp=0,4 kJ /(kgK) e k=61 W /(mK) durante 3 min . Calcule a temperatura desta esfera ao final deste período (4 min). Obtenha as equações a partir do balanço de energia. A hipótese de capacitância global é válida nestes casos? Esboce um gráfico da variação da temperatura com o tempo da esfera.
Propriedades da esfera: e

Passo 1

O exercício trata de uma esfera com diâmetro de 100 mm, temperatura inicial de 600 °C e geração volumétrica interna de 10^5 W/m^3, que é submetida a dois banhos convectivos sucessivos (1 min em T∞1=100 °C com h1=40 W/m^2K e 3 min em T∞2=50 °C com h2=10 W/m^2K). Precisamos usar o modelo de capacitância global (lumped capacitance) e escrever o balanço de energia transiente com geração interna e convecção na superfície.

Passo 2

Para usar o modelo lumped capacitance, calculamos o número de Biot em cada etapa. O raio da esfera é R=0,05 m e a condutividade k=61 W/mK.
Block:
Bi=h,Rk

Passo 3

Para h1=40 W/m^2K temos
Bi1=40times0.0561approx0,033<0,1,
e para h2=10 W/m^2K
Bi2=10times0.0561approx0,008<0,1
Como ambos são menores que 0,1, o modelo lumped é válido.

Passo 4

Escrevemos o balanço de energia:
m cpdTdt=dot q>=nV-hAl(T-Tinftyr),

Passo 5

onde
m=rho V, V=43pi R^3, A=4pi R^2

Passo 6

Definindo
a=hAm cp, b=dot q>=nVm cp,

Passo 7

a solução geral é
T(t)=Tinfty+ba+l[T(0)-Tinfty-bar]e^-a t

Passo 8

Calculamos os parâmetros numéricos:
R=0,05, m,;V=tfrac43pi(0,05)^3approx5,236times10^-4, m^3,;A=4pi(0,05)^2approx0,0314, m^2,
m=rho V=7895times5,236times10^-4approx4,135,kg,;cp=400,J/(kgK),
dot q>=nV=10^5times5,236times10^-4approx52,36, W,

Passo 9

Para o primeiro banho (h1=40 W/m^2K, T∞1=100 °C):
a1=40times0.03144,135times400approx7,60times10^-4, s^-1, b=52,364,135times400approx0,03166,K/s,
ba1=0,031667,60times10^-4approx41,67,K

Passo 10

Então
T1(t)=100+41,67+(600-100-41,67)e^-7,60times10^-4t

Passo 11

Em t=60 s:
T1(60)approx100+41,67+458,33,e^-0,04559approx580,5,°C

Passo 12

Para o segundo banho (h2=10 W/m^2K, T∞2=50 °C):
a2=10times0.03144,135times400approx1,90times10^-4, s^-1, ba2=0,031661,90times10^-4approx166,7,K,

Passo 13

T2(t')=50+166,7+(580,5-50-166,7)e^-1,90times10^-4t'

Passo 14

Em t’=180 s:
T2(180)approx50+166,7+363,8,e^-0,0342approx568,3,°C

Passo 15

O número de Biot em ambas as etapas é menor que 0,1, logo a hipótese de capacitância global é válida.
O gráfico de T versus t é uma curva exponencial decrescente em dois trechos: de 0 a 1 min tende assintoticamente a ~141,7 °C e de 1 a 4 min a ~216,7 °C, mas como o tempo é curto a temperatura cai pouco.

Resposta

A temperatura da esfera após 4 min é aproximadamente 568,3 °C.

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