*18. Seja
um grupo abeliano finito no qual o número de soluções em
da equação
é o máximo
para todo inteiro positivo
. Demonstrar que
é um grupo cíclico.
Passo 1
Vou expor claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é um grupo abeliano finito. - Hipótese: para todo inteiro positivo
, o número de soluções em da equação é no máximo . Em símbolos: para todo ,
- Objetivo: provar que
é cíclico (ou seja, existe tal que ).
Não vou resolver nada ainda; apenas deixei o enunciado claro e as informações que vamos usar.
Passo 2
Estratégia básica (explicação conceitual e redução por p-grupos).
- Todo grupo finito abeliano
é produto direto de seus -subgrupos de Sylow (decomposição primária): para cada primo que divide existe o -subgrupo tal que
e cada elemento
se escreve de forma única como produto
com
. (Isto é a decomposição em componentes primárias; explicação: os ordens dos
são potências de primos distintos, logo os elementos se separam por partes de ordem potência de
.)
- Observação sobre a equação
: se e então
Portanto o número de soluções de
em
é o produto dos números de soluções em cada
. Em fórmulas: se
então
Esta observação permite estudar cada
-componente separadamente.
Passo 3
Foco em um primo fixo
: notações e definições.
- Seja
o -subgrupo de Sylow de . Seja (aqui é um inteiro). - Defina o expoente de
como , ou seja, é o menor inteiro tal que para todo . Em outras palavras, o maior ordem de elemento em é . - Observação: como todas as ordens de elementos em
são potências de e cada ordem divide , vale .
Explicação curta do expoente: é simplesmente a maior potência de
que aparece como ordem de um elemento de
.
Passo 4
Aplicar a hipótese para
e obter uma desigualdade entre
e
.
- Para
, todos os elementos de satisfazem (pelo significado de ), logo o número de soluções vindas de é exatamente . - Pelo item do Passo 2 sobre multiplicidade, o número total de soluções em
para é múltiplo de (na verdade é onde para temos fator ). Em particular,
- Pela hipótese do enunciado temos também
- Combinando as duas desigualdades obtém-se
Logo
.
Passo 5
Concluir que
e interpretar a conclusão.
- Já tínhamos, por razões gerais,
. Juntando com obtemos . - Portanto
e o expoente de também é . Ou seja, existe um elemento em de ordem (porque o expoente é a máxima ordem que ocorre). - Um elemento de ordem igual a
gera inteiro (num grupo finito, se há elemento de ordem igual à ordem do grupo, esse elemento é gerador do grupo). Assim é cíclico.
Comentário didático: mostrar que um
-grupo finito de ordem
que tem um elemento de ordem
é necessariamente cíclico é imediato: o subgrupo gerado por esse elemento tem ordem
, logo coincide com o grupo todo.
Passo 6
Aplicar o argumento a todos os primos divisores de
.
- O argumento do Passo 5 não usou nada específico de
além de ser um primo divisor de . Assim, para cada primo o correspondente -subgrupo é cíclico. - Portanto
é produto direto de subgrupos cíclicos de ordem potências de primos:
onde
denota o grupo cíclico de ordem
.
Passo 7
Mostrar que o produto direto de ciclos de ordens coprimas é cíclico (construir o gerador global).
- Para primos distintos as ordens
são coprimas entre si. Se para cada escolhermos um gerador (ou seja, ), considere o elemento
- A ordem de
é o mínimo comum múltiplo das ordens das componentes. Como essas ordens são potências de primos distintos, o mínimo comum múltiplo é o produto:
- Assim existe um elemento de ordem
.
Passo 8
Fechamento do raciocínio (o que tudo aquilo implica).
- Se existe um elemento
com , então o subgrupo tem ordem e portanto coincide com . Ou seja, gera . - Concluímos, portanto, que existe um gerador de
; em particular há um elemento de ordem .