*18. Seja G um grupo abeliano finito no qual o número de soluções em G da equação x^{n}=e é o máximo n para todo inteiro positivo n. Demonstrar que G é um grupo cíclico.

Passo 1

Vou expor claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: G é um grupo abeliano finito.
  • Hipótese: para todo inteiro positivo n, o número de soluções em G da equação x^{n}=e é no máximo n. Em símbolos: para todo n\ge 1,
\#\{x\in G : x^{n}=e\} \le n.
  • Objetivo: provar que G é cíclico (ou seja, existe g\in G tal que \langle g\rangle = G).
Não vou resolver nada ainda; apenas deixei o enunciado claro e as informações que vamos usar.

Passo 2

Estratégia básica (explicação conceitual e redução por p-grupos).
  • Todo grupo finito abeliano G é produto direto de seus p-subgrupos de Sylow (decomposição primária): para cada primo p que divide |G| existe o p-subgrupo G_p tal que
G \cong \prod_{p\mid |G|} G_p,
e cada elemento x\in G se escreve de forma única como produto x=\prod x_p com x_p\in G_p. (Isto é a decomposição em componentes primárias; explicação: os ordens dos G_p são potências de primos distintos, logo os elementos se separam por partes de ordem potência de p.)
  • Observação sobre a equação x^n=e: se G=\prod G_p e x=\prod x_p então
x^n=e \iff x_p^n=e\\ \text{ em cada }G_p.
Portanto o número de soluções de x^n=e em G é o produto dos números de soluções em cada G_p. Em fórmulas: se a_p(n)=\#\{x\in G_p: x^n=e\} então
\#\{x\in G:x^n=e\}=\prod_{p} a_p(n).
Esta observação permite estudar cada p-componente separadamente.

Passo 3

Foco em um primo fixo p: notações e definições.
  • Seja G_p o p-subgrupo de Sylow de G. Seja |G_p|=p^{m} (aqui m\ge 0 é um inteiro).
  • Defina o expoente de G_p como p^{s}, ou seja, s é o menor inteiro tal que x^{p^{s}}=e para todo x\in G_p. Em outras palavras, o maior ordem de elemento em G_p é p^{s}.
  • Observação: como todas as ordens de elementos em G_p são potências de p e cada ordem divide |G_p|=p^{m}, vale s\le m.
Explicação curta do expoente: é simplesmente a maior potência de p que aparece como ordem de um elemento de G_p.

Passo 4

Aplicar a hipótese para n=p^{s} e obter uma desigualdade entre m e s.
  • Para n=p^{s}, todos os elementos de G_p satisfazem x^{p^{s}}=e (pelo significado de s), logo o número de soluções vindas de G_p é exatamente |G_p|=p^{m}.
  • Pelo item do Passo 2 sobre multiplicidade, o número total de soluções em G para x^{p^{s}}=e é múltiplo de p^{m} (na verdade é \prod_q a_q(p^{s}) onde para q=p temos fator p^{m}). Em particular,
\#\{x\in G: x^{p^{s}}=e\} \ge p^{m}.
  • Pela hipótese do enunciado temos também
\#\{x\in G: x^{p^{s}}=e\} \le p^{s}.
  • Combinando as duas desigualdades obtém-se
p^{m} \le p^{s}.
Logo m\le s.

Passo 5

Concluir que m=s e interpretar a conclusão.
  • Já tínhamos, por razões gerais, s\le m. Juntando com m\le s obtemos m=s.
  • Portanto |G_p|=p^{m} e o expoente de G_p também é p^{m}. Ou seja, existe um elemento em G_p de ordem p^{m} (porque o expoente é a máxima ordem que ocorre).
  • Um elemento de ordem igual a |G_p| gera G_p inteiro (num grupo finito, se há elemento de ordem igual à ordem do grupo, esse elemento é gerador do grupo). Assim G_p é cíclico.
Comentário didático: mostrar que um p-grupo finito de ordem p^{m} que tem um elemento de ordem p^{m} é necessariamente cíclico é imediato: o subgrupo gerado por esse elemento tem ordem p^{m}, logo coincide com o grupo todo.

Passo 6

Aplicar o argumento a todos os primos divisores de |G|.
  • O argumento do Passo 5 não usou nada específico de p além de ser um primo divisor de |G|. Assim, para cada primo p\mid |G| o correspondente p-subgrupo G_p é cíclico.
  • Portanto G é produto direto de subgrupos cíclicos de ordem potências de primos:
G \cong \prod_{p\mid |G|} C_{p^{m_p}},
onde C_{p^{m_p}} denota o grupo cíclico de ordem p^{m_p}.

Passo 7

Mostrar que o produto direto de ciclos de ordens coprimas é cíclico (construir o gerador global).
  • Para primos distintos as ordens p^{m_p} são coprimas entre si. Se para cada p escolhermos um gerador g_p\in C_{p^{m_p}} (ou seja, \mathrm{ord}(g_p)=p^{m_p}), considere o elemento
g=\prod_{p\mid |G|} g_p \in \prod_{p} C_{p^{m_p}}\cong G.
  • A ordem de g é o mínimo comum múltiplo das ordens das componentes. Como essas ordens são potências de primos distintos, o mínimo comum múltiplo é o produto:
\mathrm{ord}(g) = \prod_{p\mid |G|} p^{m_p} = |G|.
  • Assim existe um elemento de ordem |G|.

Passo 8

Fechamento do raciocínio (o que tudo aquilo implica).
  • Se existe um elemento g\in G com \mathrm{ord}(g)=|G|, então o subgrupo \langle g\rangle tem ordem |G| e portanto coincide com G. Ou seja, g gera G.
  • Concluímos, portanto, que existe um gerador de G; em particular há um elemento de ordem |G|.

Resposta

G é cíclico.

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