Se um grupo abeliano tem subgrupos de ordens
e
, respecti-
vamente, então mostrar que êle possui um subgrupo cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de
e
.
vamente, então mostrar que êle possui um subgrupo cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
- Informação 1:
é um grupo abeliano. - Informação 2:
possui um subgrupo de ordem (isto é, ). - Informação 3:
possui um subgrupo de ordem (isto é, ).
O que é pedido: mostrar que existe um subgrupo de
cuja ordem é
, o mínimo múltiplo comum de
e
.
Passo 2
Estratégia geral (em palavras): decompor
e
em potências de primos, tratar cada primo separadamente dentro de
(isto é, construir subgrupos cujo ordem é a potência de
apropriada) e depois juntar esses subgrupos de primos distintos para obter um subgrupo de ordem
.
Primeiro escrevemos as decomposições em primos:
onde
varia sobre os primos que aparecem em
ou
, e
são expoentes não negativos (para primos não divisores, o expoente é
). Definimos
Então
Passo 3
Para cada primo
definimos o
-componente de
:
Explico por que
é subgrupo de
. Se
então
e
para alguns
. Como
é abeliano,
, logo
divide
e é uma potência de
. Assim
. O inverso de um elemento de ordem
também tem ordem
. Portanto
é de fato um subgrupo de
.
Passo 4
Agora olhamos para os subgrupos dados
e
. Para cada primo
definimos
Estes são subgrupos de
e
respectivamente, formados pelos elementos de ordem potência de
. Como
, a parte
-primária de
tem ordem
. Uma forma elementar de ver isso é por indução em
: pelo teorema de Cauchy existe em
elemento de ordem
quando
; então procede-se por quociente e levantamento para construir um subgrupo de ordem
. Assim
Em outras palavras,
e
são as Sylow
-subgrupos (ou partes
-primárias) de
e
.
Passo 5
Agora, para cada primo
, note que
contém subgrupos de ordem
e
(porque contém
e
). Logo
é divisível por
onde
. Aplico o mesmo argumento de existência por indução (como no passo anterior): em qualquer grupo abeliano finito cujo ordem é divisível por
existe um subgrupo de ordem
. Assim, para cada
existe um subgrupo
(Resumo do raciocínio da existência: usa-se Cauchy para obter elementos de ordem
e procede-se por indução sobre
, ou então usa-se que em grupos abelianos finitos todo divisor da ordem ocorre como ordem de algum subgrupo.)
Passo 6
Agora pegamos todos esses subgrupos
(um para cada primo
que aparece) e consideramos o subgrupo
de
gerado por todos eles:
Como cada
está contido em
, elementos de
têm ordens potências de
. Se
, então
porque um elemento comum teria ordem que é potência de
e potência de
simultaneamente, e isso só é possível para o elemento neutro. Além disso, subgrupos de ordens coprimos geram um produto interno direto: o produto (gerado) de todos os
é isomorfo ao produto direto
. Consequentemente o número de elementos de
é o produto das ordens dos
:
Finalmente,
é subgrupo de
porque foi gerado por elementos de
.
Passo 7
Conclusão: a construção acima produz um subgrupo
com
. Esse é exatamente o que queria ser provado. Um pequeno exemplo ilustrativo: se
e
, então se obtêm subgrupos
de ordem
e
de ordem
e o produto
tem ordem
.
Resposta
Existe um subgrupo
com
.