Se um grupo abeliano tem subgrupos de ordens n e m, respecti-
vamente, então mostrar que êle possui um subgrupo cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de n e m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
  • Informação 1: G é um grupo abeliano.
  • Informação 2: G possui um subgrupo A de ordem n (isto é, |A|=n).
  • Informação 3: G possui um subgrupo B de ordem m (isto é, |B|=m).
O que é pedido: mostrar que existe um subgrupo de G cuja ordem é \mathrm{lcm}(n,m), o mínimo múltiplo comum de n e m.

Passo 2

Estratégia geral (em palavras): decompor n e m em potências de primos, tratar cada primo separadamente dentro de G (isto é, construir subgrupos cujo ordem é a potência de p apropriada) e depois juntar esses subgrupos de primos distintos para obter um subgrupo de ordem \mathrm{lcm}(n,m).
Primeiro escrevemos as decomposições em primos:
n=\prod_{p} p^{\alpha_p},\qquad m=\prod_{p} p^{\beta_p},
onde p varia sobre os primos que aparecem em n ou m, e \alpha_p,\beta_p são expoentes não negativos (para primos não divisores, o expoente é 0). Definimos
\gamma_p=\max(\alpha_p,\beta_p).
Então
\mathrm{lcm}(n,m)=\prod_{p} p^{\gamma_p}.

Passo 3

Para cada primo p definimos o p-componente de G:
G_{(p)}=\{g\in G:\text{o ordem de }g\text{ é uma potência de }p\}.éê
Explico por que G_{(p)} é subgrupo de G. Se x,y\in G_{(p)} então \mathrm{ord}(x)=p^{a} e \mathrm{ord}(y)=p^{b} para alguns a,b. Como G é abeliano, (xy)^{p^{\max(a,b)}}=x^{p^{\max(a,b)}}y^{p^{\max(a,b)}}=e\cdot e=e, logo \mathrm{ord}(xy) divide p^{\max(a,b)} e é uma potência de p. Assim xy\in G_{(p)}. O inverso de um elemento de ordem p^{a} também tem ordem p^{a}. Portanto G_{(p)} é de fato um subgrupo de G.

Passo 4

Agora olhamos para os subgrupos dados A e B. Para cada primo p definimos
A_{(p)}=A\cap G_{(p)},\qquad B_{(p)}=B\cap G_{(p)}.
Estes são subgrupos de A e B respectivamente, formados pelos elementos de ordem potência de p. Como |A|=n=\prod_{p}p^{\alpha_p}, a parte p-primária de A tem ordem p^{\alpha_p}. Uma forma elementar de ver isso é por indução em \alpha_p: pelo teorema de Cauchy existe em A elemento de ordem p quando \alpha_p\ge 1; então procede-se por quociente e levantamento para construir um subgrupo de ordem p^{\alpha_p}. Assim
|A_{(p)}|=p^{\alpha_p},\qquad |B_{(p)}|=p^{\beta_p}.
Em outras palavras, A_{(p)} e B_{(p)} são as Sylow p-subgrupos (ou partes p-primárias) de A e B.

Passo 5

Agora, para cada primo p, note que G_{(p)} contém subgrupos de ordem p^{\alpha_p} e p^{\beta_p} (porque contém A_{(p)} e B_{(p)}). Logo |G_{(p)}| é divisível por p^{\gamma_p} onde \gamma_p=\max(\alpha_p,\beta_p). Aplico o mesmo argumento de existência por indução (como no passo anterior): em qualquer grupo abeliano finito cujo ordem é divisível por p^{\gamma_p} existe um subgrupo de ordem p^{\gamma_p}. Assim, para cada p existe um subgrupo
P_p\le G_{(p)}\quad\text{com}\quad |P_p|=p^{\gamma_p}.
(Resumo do raciocínio da existência: usa-se Cauchy para obter elementos de ordem p e procede-se por indução sobre \gamma_p, ou então usa-se que em grupos abelianos finitos todo divisor da ordem ocorre como ordem de algum subgrupo.)

Passo 6

Agora pegamos todos esses subgrupos P_p (um para cada primo p que aparece) e consideramos o subgrupo H de G gerado por todos eles:
H=\langle\,\bigcup_{p} P_p\,\rangle.
Como cada P_p está contido em G_{(p)}, elementos de P_p têm ordens potências de p. Se p\neq q, então P_p\cap P_q=\{e\} porque um elemento comum teria ordem que é potência de p e potência de q simultaneamente, e isso só é possível para o elemento neutro. Além disso, subgrupos de ordens coprimos geram um produto interno direto: o produto (gerado) de todos os P_p é isomorfo ao produto direto \prod_p P_p. Consequentemente o número de elementos de H é o produto das ordens dos P_p:
|H|=\prod_{p}|P_p|=\prod_{p} p^{\gamma_p}=\mathrm{lcm}(n,m).
Finalmente, H é subgrupo de G porque foi gerado por elementos de G.

Passo 7

Conclusão: a construção acima produz um subgrupo H\le G com |H|=\mathrm{lcm}(n,m). Esse é exatamente o que queria ser provado. Um pequeno exemplo ilustrativo: se n=12=2^2\cdot3 e m=18=2\cdot3^2, então se obtêm subgrupos P_2 de ordem 2^2 e P_3 de ordem 3^2 e o produto P_2P_3 tem ordem 2^2\cdot3^2=\mathrm{lcm}(12,18)=36.

Resposta

Existe um subgrupo H\le G com |H|=\mathrm{lcm}(n,m).

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