No grupo do Problema 7 seja
. Demonstrar:
(a)
é um subgrupo de
.
(b) se
, então $a n a^{-1} \in N.
(a)
(b) se
Passo 1
O enunciado define o conjunto
. As perguntas são:
(a) Mostrar que é um subgrupo de
.
(b) Mostrar que, para todo e todo
, tem-se
.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que, para todo
Informações relevantes dadas (retiradas do enunciado / contexto indicado):
- Cada
é uma translação (o enunciado do Problema 7 usa essa notação para translações); aqui vou representar uma translação por um vetor e escrever para a aplicação . -
é um grupo (no contexto geométrico habitual, é o grupo das isometrias/transformações afins que contém essas translações), logo a operação do grupo é composição de aplicações e é fechado para produtos e inversos.
Nada mais é pedido no Passo 1; a demonstração começa no Passo 2.
Passo 2
Definição e propriedades básicas das translações (aula curta e necessária).
- Definição: para um vetor
no espaço afim considerado, a translação é a aplicação
- Composição de translações: se
e são vetores, então, para todo ponto ,
logo
- Elemento identidade:
é a translação nula e satisfaz para todo . - Inversa: a inversa de
é porque
Esses fatos são básicos e fáceis de checar diretamente.
Passo 3
Provar que
é não vazio e contém a identidade (parte do critério de subgrupo).
- Como o enunciado afirma que translações
pertencem a e, em particular, a translação nula é uma translação, tem-se . Portanto e o elemento identidade do grupo está em .
Passo 4
Fechamento sob produto (critério de subgrupo explicado passo a passo).
- Tome
. Pelas hipóteses, existe vetores e tais que e . - Pela propriedade de composição de translações (Passo 2),
ou seja, o produto é novamente uma translação. Como
tem a forma
(é uma translação) e
é fechado sob produtos, concluímos que
.
- Assim
é fechado para a operação do grupo.
Passo 5
Fechamento sob inversos (continuação do critério de subgrupo).
- Tome
com . Pelo item do Passo 2,
- Como
é uma translação, tem a forma e está em . Logo contém inversos de seus elementos.
Passo 6
Conclusão (parte (a)).
- Reunindo os resultados:
contém a identidade, é fechado sob produto e contém inversos. Pelo critério usual (subgrupo), é subgrupo de . - Pequena motivação prática: em prova, basta verificar os três itens acima ou usar o critério “subconjunto não vazio fechado por produto e inverso”.
Passo 7
Provar a propriedade de conjugação (parte (b)) — mostrar normalidade.
- Para mostrar que
para todo e , vamos calcular o conjugado de uma translação por um elemento genérico . - No contexto das isometrias/transformações afins, um elemento
pode ser escrito na forma afim
onde
é a parte linear (por exemplo, uma matriz ortogonal se
for isometria linear) e
é um vetor de translação. A inversa é
(Essa representação é padrão para transformações afins e vale no contexto geométrico em que aparecem translações.)
- Agora calculemos
aplicando a um ponto arbitrário :
Simplificando:
Portanto
ou seja, o conjugado é novamente uma translação (pela imagem do vetor
pela parte linear
de
).
- Como
é uma translação, pertence a . Assim para todo e tem-se .
Passo 8
Conclusão final (parte (b)) e observação.
- Mostrou-se que conjugar qualquer translação por qualquer elemento de
produz outra translação; portanto é estável por conjugação por elementos de . - Em linguagem de teoria de grupos:
é um subgrupo normal de .
Resposta
(a)
é um subgrupo de
.
(b) Para todo e todo
tem-se
.
(b) Para todo