No grupo do Problema 7 seja N=\left\{\tau_{l b} \in G\right\}. Demonstrar:
(a) N é um subgrupo de G.
(b) se a \in G, n \in N, então $a n a^{-1} \in N.

Passo 1

O enunciado define o conjunto N=\{\tau_{l b}\in G\}. As perguntas são:
(a) Mostrar que N é um subgrupo de G.
(b) Mostrar que, para todo a\in G e todo n\in N, tem-se a n a^{-1}\in N.
Informações relevantes dadas (retiradas do enunciado / contexto indicado):
  • Cada \tau_{l b} é uma translação (o enunciado do Problema 7 usa essa notação para translações); aqui vou representar uma translação por um vetor v e escrever \tau_v para a aplicação p\mapsto p+v.
  • G é um grupo (no contexto geométrico habitual, é o grupo das isometrias/transformações afins que contém essas translações), logo a operação do grupo é composição de aplicações e G é fechado para produtos e inversos.
    Nada mais é pedido no Passo 1; a demonstração começa no Passo 2.

Passo 2

Definição e propriedades básicas das translações (aula curta e necessária).
  • Definição: para um vetor v no espaço afim considerado, a translação \tau_v é a aplicação
\tau_v:\; p \longmapsto p+v.
  • Composição de translações: se u e v são vetores, então, para todo ponto p,
(\tau_u\circ\tau_v)(p)=\tau_u(\tau_v(p))=\tau_u(p+v)=(p+v)+u=p+(u+v),
logo
\tau_u\circ\tau_v=\tau_{u+v}.
  • Elemento identidade: \tau_0 é a translação nula e satisfaz \tau_0(p)=p para todo p.
  • Inversa: a inversa de \tau_v é \tau_{-v} porque
\tau_v\circ\tau_{-v}=\tau_{v+(-v)}=\tau_0,\qquad \tau_{-v}\circ\tau_v=\tau_0.
Esses fatos são básicos e fáceis de checar diretamente.

Passo 3

Provar que N é não vazio e contém a identidade (parte do critério de subgrupo).
  • Como o enunciado afirma que translações \tau_{l b} pertencem a G e, em particular, a translação nula \tau_0 é uma translação, tem-se \tau_0\in N. Portanto N\neq\varnothing e o elemento identidade do grupo G está em N.

Passo 4

Fechamento sob produto (critério de subgrupo explicado passo a passo).
  • Tome n_1,n_2\in N. Pelas hipóteses, existe vetores u e v tais que n_1=\tau_u e n_2=\tau_v.
  • Pela propriedade de composição de translações (Passo 2),
n_1 n_2=\tau_u\circ\tau_v=\tau_{u+v},
ou seja, o produto é novamente uma translação. Como \tau_{u+v} tem a forma \tau_{l b} (é uma translação) e G é fechado sob produtos, concluímos que n_1 n_2\in N.
  • Assim N é fechado para a operação do grupo.

Passo 5

Fechamento sob inversos (continuação do critério de subgrupo).
  • Tome n\in N com n=\tau_v. Pelo item do Passo 2,
n^{-1}=(\tau_v)^{-1}=\tau_{-v}.
  • Como \tau_{-v} é uma translação, tem a forma \tau_{l b} e está em N. Logo N contém inversos de seus elementos.

Passo 6

Conclusão (parte (a)).
  • Reunindo os resultados: N contém a identidade, é fechado sob produto e contém inversos. Pelo critério usual (subgrupo), N é subgrupo de G.
  • Pequena motivação prática: em prova, basta verificar os três itens acima ou usar o critério “subconjunto não vazio fechado por produto e inverso”.

Passo 7

Provar a propriedade de conjugação (parte (b)) — mostrar normalidade.
  • Para mostrar que a n a^{-1}\in N para todo a\in G e n\in N, vamos calcular o conjugado de uma translação por um elemento genérico a\in G.
  • No contexto das isometrias/transformações afins, um elemento a\in G pode ser escrito na forma afim
a(p)=A p + t,
onde A é a parte linear (por exemplo, uma matriz ortogonal se a for isometria linear) e t é um vetor de translação. A inversa é
a^{-1}(p)=A^{-1} p - A^{-1} t.
(Essa representação é padrão para transformações afins e vale no contexto geométrico em que aparecem translações.)
  • Agora calculemos a\circ\tau_v\circ a^{-1} aplicando a um ponto arbitrário p:
\bigl(a\circ\tau_v\circ a^{-1}\bigr)(p) = a\bigl(a^{-1}(p)+v\bigr) = A\bigl(A^{-1}p - A^{-1}t + v\bigr) + t.
Simplificando:
A(A^{-1}p - A^{-1}t + v) + t = p - t + A v + t = p + A v.
Portanto
a\circ\tau_v\circ a^{-1} = \tau_{A v},
ou seja, o conjugado é novamente uma translação (pela imagem do vetor v pela parte linear A de a).
  • Como \tau_{A v} é uma translação, pertence a N. Assim para todo a\in G e n=\tau_v\in N tem-se a n a^{-1}\in N.

Passo 8

Conclusão final (parte (b)) e observação.
  • Mostrou-se que conjugar qualquer translação por qualquer elemento de G produz outra translação; portanto N é estável por conjugação por elementos de G.
  • Em linguagem de teoria de grupos: N é um subgrupo normal de G.

Resposta

(a) N é um subgrupo de G.
(b) Para todo a\in G e todo n\in N tem-se a n a^{-1}\in N.

Exercícios relacionados