19 Considere f(x, y)=e^{x} \cos y. No ponto P=\left(0, \frac{\pi}{3}\right) :
(a) Em que direção f cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção f decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de f em P ?
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)=e^{x}\cos y
e pede, no ponto P=(0,\tfrac{\pi}{3}),
(a) a direção de crescimento máximo e a respetiva taxa,
(b) a direção de decrescimento máximo e a respetiva taxa,
(c) as direções em que a variação é zero.
Para resolver usamos o gradiente e a noção de derivada direcional.
e a taxa máxima de decrescimento (derivada direcional mínima) é
-\bigl\|\nabla f(P)\bigr\|=-1.
Passo 6
(c) As direções de variação zero são todos os vetores ortogonais ao gradiente, isto é, v tal que \nabla f(P)\cdot v=0. Dois vetores unitários perpendiculares a \bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) são