19 Considere f(x, y)=e^{x} \cos y. No ponto P=\left(0, \frac{\pi}{3}\right) :
(a) Em que direção f cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção f decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de f em P ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=e^{x}\cos y
e pede, no ponto P=(0,\tfrac{\pi}{3}),
(a) a direção de crescimento máximo e a respetiva taxa,
(b) a direção de decrescimento máximo e a respetiva taxa,
(c) as direções em que a variação é zero.
Para resolver usamos o gradiente e a noção de derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin y.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\Bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\Bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(0,\tfrac{\pi}{3}):
\nabla f\bigl(0,\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\Bigl(e^{0}\cos\tfrac{\pi}{3},\,-e^{0}\sin\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
O módulo desse vetor é
\bigl\|\nabla f(P)\bigr\| =\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2}} =1.

Passo 4

(a) A direção de crescimento mais rápido é a do vetor gradiente normalizado. Como \|\nabla f(P)\|=1, o próprio gradiente já é unitário:
v_{\text{cres}}=\Bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
A taxa máxima de crescimento é
\bigl\|\nabla f(P)\bigr\|=1.

Passo 5

(b) A direção de decrescimento mais rápido é o oposto do gradiente:
v_{\text{decres}}=-\nabla f(P) =\Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
e a taxa máxima de decrescimento (derivada direcional mínima) é
-\bigl\|\nabla f(P)\bigr\|=-1.

Passo 6

(c) As direções de variação zero são todos os vetores ortogonais ao gradiente, isto é, v tal que \nabla f(P)\cdot v=0. Dois vetores unitários perpendiculares a \bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) são
\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac12\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\;-\tfrac12\Bigr).

Resposta

(a) Direção \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), taxa máxima 1.
(b) Direção \bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), taxa máxima de decrescimento -1.
(c) Direções de variação zero: \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac12\bigr) e \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\;-\tfrac12\bigr).

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