19.4 Um cursor de
está preso a uma mola de constante
e pode deslizar sem atrito ao longo de uma haste horizontal. O cursor inicialmente em repouso recebe um golpe, adquirindo uma velocidade de
. Determine a amplitude e a máxima aceleração do cursor durante o movimento subseqüente.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
(inicialmente o cursor está em repouso em relação à posição da mola e recebe o golpe; assumimos que a posição inicial é
.)
Perguntas do exercício:
- Determinar a amplitude do movimento (
). - Determinar a máxima aceleração do cursor (
).
Passo 2
Vamos entender as fórmulas básicas que precisamos. Para um sistema massa-mola sem atrito em movimento harmônico simples temos a frequência angular
Explicando:
(rad/s) mede quantas “radianadas” por segundo o movimento oscila;
é a constante elástica da mola e
a massa. A expressão vem da equação da dinâmica linearizada para a mola e é uma relação direta entre rigidez e inércia.
Também é útil saber duas formas de encontrar a amplitude quando sabemos a velocidade inicial em
:
- Pela energia: a energia cinética inicial é transformada totalmente em energia potencial no extremo da oscilação. Isso dá
que simplifica para
- Pela solução geral do movimento harmônico:
e . Se segue que e, com conhecido, também chega-se a . As duas abordagens dão a mesma fórmula — escolhemos a que for mais clara para você.
Por fim, a máxima aceleração ocorre nos extremos (quando
) e vale
Também podemos notar que, usando
,
Vou usar essas fórmulas para calcular numericamente.
Passo 3
Calculemos a frequência angular
com os dados dados. Usamos a fórmula
Substituindo
e
:
Comentário rápido: converti
em forma fracionária
para manter exatidão e depois calculei a raiz numérica. O valor aproximado é
.
Passo 4
Agora calculamos a amplitude usando
Substituindo
e
:
Em centímetros isso é
Interpretação: o golpe inicial fez a massa atravessar do centro até cerca de
do equilíbrio no extremo da oscilação.
Passo 5
Agora a máxima aceleração. Podemos usar
ou
. Vou usar a forma
(menos passos algébricos e numericamente estável):
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Checagem rápida (consistência): usando
, com
e
,
que coincide com o valor obtido antes. Bom sinal — está consistente.