19.4 Um cursor de 1,36 \mathrm{~kg} está preso a uma mola de constante 700 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e pode deslizar sem atrito ao longo de uma haste horizontal. O cursor inicialmente em repouso recebe um golpe, adquirindo uma velocidade de 1,27 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a amplitude e a máxima aceleração do cursor durante o movimento subseqüente.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
m=1,36\\ \mathrm{kg}
k=700\\ \mathrm{N/m}
v(0)=1,27\\ \mathrm{m/s}
(inicialmente o cursor está em repouso em relação à posição da mola e recebe o golpe; assumimos que a posição inicial é x(0)=0.)
Perguntas do exercício:
  • Determinar a amplitude do movimento ( A).
  • Determinar a máxima aceleração do cursor ( a_{\max}).

Passo 2

Vamos entender as fórmulas básicas que precisamos. Para um sistema massa-mola sem atrito em movimento harmônico simples temos a frequência angular
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Explicando: \omega (rad/s) mede quantas “radianadas” por segundo o movimento oscila; k é a constante elástica da mola e m a massa. A expressão vem da equação da dinâmica linearizada para a mola e é uma relação direta entre rigidez e inércia.
Também é útil saber duas formas de encontrar a amplitude quando sabemos a velocidade inicial em x=0:
  1. Pela energia: a energia cinética inicial é transformada totalmente em energia potencial no extremo da oscilação. Isso dá
\frac{1}{2}m v(0)^2=\frac{1}{2}k A^2,
que simplifica para
A=\dfrac{v(0)}{\omega}.
  1. Pela solução geral do movimento harmônico: x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) e v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi). Se x(0)=0 segue que \cos\varphi=0 e, com v(0) conhecido, também chega-se a A=v(0)/\omega. As duas abordagens dão a mesma fórmula — escolhemos a que for mais clara para você.
Por fim, a máxima aceleração ocorre nos extremos (quando |x|=A) e vale
a_{\max}=\omega^2 A.
Também podemos notar que, usando A=v(0)/\omega,
a_{\max}=\omega^2\cdot \frac{v(0)}{\omega}=\omega\,v(0).
Vou usar essas fórmulas para calcular numericamente.

Passo 3

Calculemos a frequência angular \omega com os dados dados. Usamos a fórmula
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo k=700\\ \mathrm{N/m} e m=1,36\\ \mathrm{kg}:
\omega=\sqrt{\dfrac{700}{1,36}}=\sqrt{\dfrac{8750}{17}}\approx 22,687\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário rápido: converti 700/(1,36) em forma fracionária 8750/17 para manter exatidão e depois calculei a raiz numérica. O valor aproximado é \omega\approx 22,687\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora calculamos a amplitude usando
A=\dfrac{v(0)}{\omega}.
Substituindo v(0)=1,27\\ \mathrm{m/s} e \omega\approx 22,687\\ \mathrm{rad/s}:
A=\dfrac{1,27}{22,687}\approx 0,0560\\ \mathrm{m}.
Em centímetros isso é
A\approx 5,60\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: o golpe inicial fez a massa atravessar do centro até cerca de 5{,}6\\ \mathrm{cm} do equilíbrio no extremo da oscilação.

Passo 5

Agora a máxima aceleração. Podemos usar a_{\max}=\omega^2 A ou a_{\max}=\omega\,v(0). Vou usar a forma a_{\max}=\omega\,v(0) (menos passos algébricos e numericamente estável):
a_{\max}=\omega\,v(0)\approx 22,687\times 1,27\\ \mathrm{m/s^2}.
Fazendo a multiplicação:
a_{\max}\approx 28,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Checagem rápida (consistência): usando \omega^2 A, com \omega^2=\dfrac{k}{m}\approx 514{,}706\\ \mathrm{s^{-2}} e A\approx 0{,}0560\\ \mathrm{m},
a_{\max}\approx 514{,}706\times 0{,}0560\approx 28{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
que coincide com o valor obtido antes. Bom sinal — está consistente.

Resposta

A=0,0560\\ \mathrm{m} ( 5,60\\ \mathrm{cm})
a_{\max}=28,8\\ \mathrm{m/s^2}

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