9.32 Duas barras cilindricas - C D feita de aço ( E_{a, 0}=200 \mathrm{GPa} ) e A C feita de aluminio ( E_{\text {alum }}=70 \mathrm{GPa} ) - são unidas em C e contidas por apoios rigidos \mathrm{em} A e D. Determine (a) as reações em A e D e (b) o deslocamento do ponto C.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) as reações nos apoios em A e em D;
  • (b) o deslocamento do ponto C.
Informações dadas no enunciado que vou usar explicitamente:
E_{\text{aço}} = 200\\ \mathrm{GPa},\qquad E_{\text{alum}} = 70\\ \mathrm{GPa},ç
e que as barras são cilíndricas, estão unidas em C e os apoios em A e D são rígidos (fixos).
Observação importante (dados que não foram fornecidos no enunciado que são necessários para um valor numérico): não foram informados os comprimentos das barras AC e CD, nem as áreas das seções transversais, nem qualquer carga numérica aplicada em C (por exemplo, uma força P aplicada em C ou uma variação de temperatura). Sem esses dados não é possível obter valores numéricos finais.
Para não deixar você sem método, vou:
  • definir símbolos para as quantidades ausentes e
  • desenvolver a solução completa em forma simbólica (expressões que você poderá avaliar quando tiver L, A e a força aplicada).
    Isso também te ensina passo a passo o que fazer na prova quando tiver os números.
Definições de símbolos que vou usar:
L_1 = \text{comprimento da barra }AC,\qquad A_1 = \text{área da seção de }AC,áçã
L_2 = \text{comprimento da barra }CD,\qquad A_2 = \text{área da seção de }CD,áçã
E_1 = E_{\text{alum}}=70\\ \mathrm{GPa},\qquad E_2 = E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa},ç
e denoto por P a força axial aplicada em C direcionada para a direita (se no seu enunciado a carga for diferente, substitua P pela carga correta; a fórmula seguirá a mesma estrutura). Vou tomar deslocamentos positivos para a direita e assumir regime linear elástico (lei de Hooke).

Passo 2

Intuição física e método que usaremos (passo didático):
  • Cada barra axial linear se comporta como uma mola linear quando submetida a uma força axial pequena: a relação fundamental é a lei de Hooke na forma para barras:
\text{Força axial} = \frac{E A}{L}\times(\text{alongamento}),ç
onde E é o módulo de Young, A a área da seção e L o comprimento.
  • Assim, cada barra tem uma “rigidez axial” (constante de mola) dada por
k = \frac{E A}{L}.
  • O ponto C está preso entre duas “molas” ligadas a apoios fixos: a barra AC (à esquerda) com rigidez k_1 e a barra CD (à direita) com rigidez k_2. Uma força P aplicada em C faz com que C sofra um deslocamento \delta. As reações em A e D são as forças em cada barra, iguais a k_1\delta e k_2\delta, respectivamente.
  • Usamos equilíbrio estático no nó C (somatório de forças = 0) e compatibilidade (o deslocamento \delta é o mesmo para a deformação do ponto C em relação a cada apoio).
Vou agora transformar essa ideia em fórmulas.

Passo 3

Calcular as rigidezes axiais das duas barras (essas fórmulas vêm diretamente de \text{força}=EA/L\times\text{deformação}ççã):
k_1 = \frac{E_1 A_1}{L_1} = \frac{E_{\text{alum}}\,A_1}{L_1}, \qquad k_2 = \frac{E_2 A_2}{L_2} = \frac{E_{\text{aço}}\,A_2}{L_2}.ç
Explicação: k_1 é a “rigidez” da barra AC; se o nó C se desloca \delta para a direita, a barra AC alonga em \delta e gera uma força F_1=k_1\delta. A barra CD, se C se desloca \delta para a direita, encurta em \delta e gera uma força F_2=k_2\delta que age no nó (o sinal depende da direção, mas em magnitudes usamos as quantidades positivas e cuidamos dos sinais no equilíbrio).

Passo 4

Equilíbrio estático no nó C:
  • Se aplicamos uma força P para a direita em C, as reações nos apoios devem equilibrar essa força. Tomando forças positivas para a direita, a soma das forças internas que os apoios transmitem ao nó C deve ser igual a P. Em termos das rigidezes e do deslocamento \delta:
R_A + R_D = P,
onde
R_A = k_1 \,\delta,\qquad R_D = k_2\,\delta.
Aqui R_A é a reação transmitida pela barra AC ao apoio A e R_D é a reação transmitida pela barra CD ao apoio D. (Sinais: se P empurra para a direita, ambas as barras reagem com forças equilibrantes para a esquerda nos apoios; aqui estou apresentando magnitudes e a decomposição de sinais segue do equilíbrio mostrado.)

Passo 5

Resolver para o deslocamento \delta (compatibilidade + equilíbrio):
Substituindo R_A e R_D na equação de equilíbrio:
k_1\delta + k_2\delta = P \quad\Longrightarrow\quad (k_1+k_2)\delta = P.
Logo,
\delta = \frac{P}{k_1+k_2}.
Explicação didática: isso é exatamente como duas molas em paralelo ligadas a uma massa carregada: a rigidez total é a soma das rigidezes; o deslocamento sob carga P é a carga dividida pela rigidez total.

Passo 6

Expressões finais para as reações em termos das propriedades das barras:
Substituindo \delta em R_A=k_1\delta e R_D=k_2\delta:
R_A = \frac{k_1}{k_1+k_2}\,P,\qquad R_D = \frac{k_2}{k_1+k_2}\,P.
Agora substituo k_1 e k_2 por E A/L:
R_A = \frac{\dfrac{E_1A_1}{L_1}}{\dfrac{E_1A_1}{L_1}+\dfrac{E_2A_2}{L_2}}\,P = \frac{E_1A_1/L_1}{E_1A_1/L_1 + E_2A_2/L_2}\,P,
R_D = \frac{\dfrac{E_2A_2}{L_2}}{\dfrac{E_1A_1}{L_1}+\dfrac{E_2A_2}{L_2}}\,P = \frac{E_2A_2/L_2}{E_1A_1/L_1 + E_2A_2/L_2}\,P.
Essas são as fórmulas gerais: a reação em cada apoio é a fração da força aplicada proporcional à rigidez dessa barra.

Passo 7

Expressão final para o deslocamento de C:
Usando \delta = P/(k_1+k_2) e substituindo k's:
\delta = \frac{P}{\dfrac{E_1A_1}{L_1} + \dfrac{E_2A_2}{L_2}} = \frac{P}{\dfrac{E_{\text{alum}}A_1}{L_1} + \dfrac{E_{\text{aço}}A_2}{L_2}}.ç
Comentário prático: quando você tiver os valores numéricos de A_1,A_2,L_1,L_2 e da força P, substitui aqui e calcula \delta. Lembre-se das unidades (se E em GPa, converta para Pa se usar áreas em m^2 e comprimentos em m, ou mantenha consistência das unidades).

Passo 8

Caso particular útil (muito comum em provas): se as barras têm a mesma área de seção transversal A_1=A_2=A (por exemplo, mesmos diâmetros), as fórmulas simplificam porque A cancela nas frações:
R_A = \frac{(E_1/L_1)}{(E_1/L_1 + E_2/L_2)}\,P,\qquad R_D = \frac{(E_2/L_2)}{(E_1/L_1 + E_2/L_2)}\,P,
\delta = \frac{P}{A\left(\dfrac{E_1}{L_1} + \dfrac{E_2}{L_2}\right)}.
Se além disso você conhece L_1,L_2 e os E (aqui E_1=70\\ \mathrm{GPa} e E_2=200\\ \mathrm{GPa}), basta substituir e calcular.

Resposta

R_A = \frac{\dfrac{E_{\text{alum}}A_1}{L_1}}{\dfrac{E_{\text{alum}}A_1}{L_1}+\dfrac{E_{\text{aço}}A_2}{L_2}}\,Pç
R_D = \frac{\dfrac{E_{\text{aço}}A_2}{L_2}}{\dfrac{E_{\text{alum}}A_1}{L_1}+\dfrac{E_{\text{aço}}A_2}{L_2}}\,Pçç
\delta_C = \frac{P}{\dfrac{E_{\text{alum}}A_1}{L_1}+\dfrac{E_{\text{aço}}A_2}{L_2}}ç

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