9.32 Duas barras cilindricas -
feita de aço (
) e
feita de aluminio (
) - são unidas em
e contidas por apoios rigidos
e
. Determine (a) as reações em
e
e (b) o deslocamento do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) as reações nos apoios em
e em ; - (b) o deslocamento do ponto
.
Informações dadas no enunciado que vou usar explicitamente:
e que as barras são cilíndricas, estão unidas em
e os apoios em
e
são rígidos (fixos).
Observação importante (dados que não foram fornecidos no enunciado que são necessários para um valor numérico): não foram informados os comprimentos das barras
e
, nem as áreas das seções transversais, nem qualquer carga numérica aplicada em
(por exemplo, uma força
aplicada em
ou uma variação de temperatura). Sem esses dados não é possível obter valores numéricos finais.
Para não deixar você sem método, vou:
- definir símbolos para as quantidades ausentes e
- desenvolver a solução completa em forma simbólica (expressões que você poderá avaliar quando tiver
, e a força aplicada).
Isso também te ensina passo a passo o que fazer na prova quando tiver os números.
Definições de símbolos que vou usar:
e denoto por
a força axial aplicada em
direcionada para a direita (se no seu enunciado a carga for diferente, substitua
pela carga correta; a fórmula seguirá a mesma estrutura). Vou tomar deslocamentos positivos para a direita e assumir regime linear elástico (lei de Hooke).
Passo 2
Intuição física e método que usaremos (passo didático):
- Cada barra axial linear se comporta como uma mola linear quando submetida a uma força axial pequena: a relação fundamental é a lei de Hooke na forma para barras:
onde
é o módulo de Young,
a área da seção e
o comprimento.
- Assim, cada barra tem uma “rigidez axial” (constante de mola) dada por
- O ponto
está preso entre duas “molas” ligadas a apoios fixos: a barra (à esquerda) com rigidez e a barra (à direita) com rigidez . Uma força aplicada em faz com que sofra um deslocamento . As reações em e são as forças em cada barra, iguais a e , respectivamente. - Usamos equilíbrio estático no nó
(somatório de forças = 0) e compatibilidade (o deslocamento é o mesmo para a deformação do ponto em relação a cada apoio).
Vou agora transformar essa ideia em fórmulas.
Passo 3
Calcular as rigidezes axiais das duas barras (essas fórmulas vêm diretamente de
):
Explicação:
é a “rigidez” da barra
; se o nó
se desloca
para a direita, a barra
alonga em
e gera uma força
. A barra
, se
se desloca
para a direita, encurta em
e gera uma força
que age no nó (o sinal depende da direção, mas em magnitudes usamos as quantidades positivas e cuidamos dos sinais no equilíbrio).
Passo 4
Equilíbrio estático no nó
:
- Se aplicamos uma força
para a direita em , as reações nos apoios devem equilibrar essa força. Tomando forças positivas para a direita, a soma das forças internas que os apoios transmitem ao nó deve ser igual a . Em termos das rigidezes e do deslocamento :
onde
Aqui
é a reação transmitida pela barra
ao apoio
e
é a reação transmitida pela barra
ao apoio
. (Sinais: se
empurra para a direita, ambas as barras reagem com forças equilibrantes para a esquerda nos apoios; aqui estou apresentando magnitudes e a decomposição de sinais segue do equilíbrio mostrado.)
Passo 5
Resolver para o deslocamento
(compatibilidade + equilíbrio):
Substituindo
e
na equação de equilíbrio:
Logo,
Explicação didática: isso é exatamente como duas molas em paralelo ligadas a uma massa carregada: a rigidez total é a soma das rigidezes; o deslocamento sob carga
é a carga dividida pela rigidez total.
Passo 6
Expressões finais para as reações em termos das propriedades das barras:
Substituindo
em
e
:
Agora substituo
e
por
:
Essas são as fórmulas gerais: a reação em cada apoio é a fração da força aplicada proporcional à rigidez dessa barra.
Passo 7
Expressão final para o deslocamento de
:
Usando
e substituindo
's:
Comentário prático: quando você tiver os valores numéricos de
e da força
, substitui aqui e calcula
. Lembre-se das unidades (se
em GPa, converta para Pa se usar áreas em m^2 e comprimentos em m, ou mantenha consistência das unidades).
Passo 8
Caso particular útil (muito comum em provas): se as barras têm a mesma área de seção transversal
(por exemplo, mesmos diâmetros), as fórmulas simplificam porque
cancela nas frações:
Se além disso você conhece
e os
(aqui
e
), basta substituir e calcular.