19.2 Determine a máxima velocidade e a máxima aceleração de um ponto material que se move em movimento harmônico simples com amplitude de 150 mm e período de 0,90 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas:
  • Amplitude: \displaystyle A=150\\ \mathrm{mm}.
  • Período: \displaystyle T=0{,}90\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta: determinar a máxima velocidade e a máxima aceleração do ponto material no movimento harmônico simples.
Observação sobre unidades: vou converter a amplitude para metros para usar o SI: \displaystyle A=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (vou explicar passo a passo por que usamos cada uma).
  • A posição em função do tempo pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde \displaystyle A é a amplitude (distância máxima ao equilíbrio), \displaystyle \omega é a frequência angular (em rad/s) e \displaystyle \varphi é a fase inicial. Aqui \displaystyle \omega está relacionada com o período \displaystyle T por
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Explicação curta: em um ciclo o argumento do cosseno varia 2\pi radianos, e isso ocorre no intervalo de tempo T, então em cada segundo o argumento varia em média \dfrac{2\pi}{T} radianos — isso é a frequência angular.
  • A velocidade é a derivada da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
A aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
  • Máximos de velocidade e aceleração (módulos):
    • \displaystyle |v(t)| atinge máximo quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, portanto
    v_{\max}=A\omega.
    • \displaystyle |a(t)| atinge máximo quando |\cos(\omega t+\varphi)|=1, portanto
    a_{\max}=A\omega^2.
Essas fórmulas são fundamentais: a velocidade máxima depende da amplitude e da rapidez angular; a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular.

Passo 3

Calcular a frequência angular \displaystyle \omega usando \displaystyle \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0{,}90\\ \mathrm{s}}.
Podemos deixar por enquanto em forma simbólica e depois avaliar numericamente. Mas já vale notar que
\omega=\frac{2\pi}{0{,}9} \approx 6{,}981317\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a máxima velocidade usando \displaystyle v_{\max}=A\omega.
Primeiro em símbolos com números:
v_{\max}=0{,}150\cdot\frac{2\pi}{0{,}90}.
Fazendo uma simplificação prática:
v_{\max}=\frac{0{,}150}{0{,}90}\cdot 2\pi=\frac{1}{6}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Agora em valor decimal:
v_{\max}=\frac{\pi}{3}\approx 1{,}0472\\ \mathrm{m/s}.
Se preferir em mm/s: \displaystyle v_{\max}\approx 1047{,}2\\ \mathrm{mm/s}.

Passo 5

Calcular a máxima aceleração usando \displaystyle a_{\max}=A\omega^2.
Usando a forma com \displaystyle \omega=\dfrac{2\pi}{T}:
a_{\max}=A\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = A\frac{4\pi^2}{T^2}.
Agora substituindo A=0{,}150\\ \mathrm{m} e T=0{,}90\\ \mathrm{s} (logo T^2=0{,}81\\ \mathrm{s}^2):
a_{\max}=0{,}150\cdot\frac{4\pi^2}{0{,}81}.
Podemos também escrever isso em forma racional exata:
a_{\max}=\frac{20}{27}\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Valor numérico:
a_{\max}\approx 7{,}31\\ \mathrm{m/s^2}.
Em mm/s^2 isso é \displaystyle \approx 7310\\ \mathrm{mm/s^2}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (rápido raciocínio para prova): a unidade de v_{\max} é m/s porque A está em m e \omega em rad/s; a unidade de a_{\max} é m/s^2 porque \omega^2 tem unidade \mathrm{(rad/s)^2} (rad é adimensional) e multiplicada por m dá m/s^2. Os valores fazem sentido: amplitude pequena e período menor que 1 s geram velocidades e acelerações da ordem de 1 m/s e alguns m/s^2.

Resposta

\displaystyle v_{\max}=1{,}0472\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle a_{\max}=7{,}31\\ \mathrm{m/s^2}

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