19.2 Determine a máxima velocidade e a máxima aceleração de um ponto material que se move em movimento harmônico simples com amplitude de 150 mm e período de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas:
- Amplitude:
. - Período:
. - Pergunta: determinar a máxima velocidade e a máxima aceleração do ponto material no movimento harmônico simples.
Observação sobre unidades: vou converter a amplitude para metros para usar o SI:
.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (vou explicar passo a passo por que usamos cada uma).
- A posição em função do tempo pode ser escrita como
onde
é a amplitude (distância máxima ao equilíbrio),
é a frequência angular (em rad/s) e
é a fase inicial. Aqui
está relacionada com o período
por
Explicação curta: em um ciclo o argumento do cosseno varia
radianos, e isso ocorre no intervalo de tempo
, então em cada segundo o argumento varia em média
radianos — isso é a frequência angular.
- A velocidade é a derivada da posição:
A aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
- Máximos de velocidade e aceleração (módulos):
-
atinge máximo quando , portanto
-
atinge máximo quando , portanto
-
Essas fórmulas são fundamentais: a velocidade máxima depende da amplitude e da rapidez angular; a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular.
Passo 3
Calcular a frequência angular
usando
.
Podemos deixar por enquanto em forma simbólica e depois avaliar numericamente. Mas já vale notar que
Passo 4
Calcular a máxima velocidade usando
.
Primeiro em símbolos com números:
Fazendo uma simplificação prática:
Agora em valor decimal:
Se preferir em mm/s:
.
Passo 5
Calcular a máxima aceleração usando
.
Usando a forma com
:
Agora substituindo
e
(logo
):
Podemos também escrever isso em forma racional exata:
Valor numérico:
Em mm/s^2 isso é
.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (rápido raciocínio para prova): a unidade de
é m/s porque
está em m e
em rad/s; a unidade de
é m/s^2 porque
tem unidade
(rad é adimensional) e multiplicada por m dá m/s^2. Os valores fazem sentido: amplitude pequena e período menor que 1 s geram velocidades e acelerações da ordem de 1 m/s e alguns m/s^2.