19- Determinado material em seu estado líquido está dentro de um cilindro de 24 cm de altura e 6 cm de diâmetro, preenchendo-o completamente. Sabendo que a densidade desse material é de 1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, a massa contida no cilindro é igual a:

Passo 1

O enunciado pede a massa do líquido que preenche completamente um cilindro. Informações fornecidas:
  • altura do cilindro: h = 24\\ \text{cm},
  • diâmetro do cilindro: d = 6\\ \text{cm},
  • densidade do material: \rho = 1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    A pergunta é: qual é a massa contida no cilindro?

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as medidas para o Sistema Internacional (metro), porque a densidade está em \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Converter altura:
h = 24\\ \text{cm} = 24\cdot 0,01\\ \text{m} = 0,24\\ \text{m}.
  • Converter diâmetro em raio e em metros:
r = \frac{d}{2} = \frac{6\\ \text{cm}}{2} = 3\\ \text{cm} = 3\cdot 0,01\\ \text{m} = 0,03\\ \text{m}.

Passo 3

Fórmula do volume de um cilindro (essa é a fórmula que vamos usar):
V = \pi r^{2} h,
onde:
  • V é o volume em \mathrm{m^{3}},
  • r é o raio em \mathrm{m},
  • h é a altura em \mathrm{m},
  • \pi é a constante aproximada 3,14159\ldots.
Explicando por que: a base do cilindro é um círculo de área \pi r^{2}; multiplicando essa área pela altura h obtemos o volume.

Passo 4

Calcular passo a passo r^{2}, r^{2}h e o volume V.
r^{2} = (0,03)^{2} = 0,0009\\ \mathrm{m^{2}}.
r^{2}h = 0,0009 \cdot 0,24 = 0,000216\\ \mathrm{m^{3}}.
V = \pi \cdot 0,000216 = 0,000216\pi\\ \mathrm{m^{3}} \approx 0,000678584\\ \mathrm{m^{3}}.
(para a aproximação numérica usei \pi \approx 3,1415926).

Passo 5

Relação entre massa, densidade e volume: a definição de densidade é
\rho = \frac{m}{V},
onde m é a massa em \mathrm{kg}, \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}} e V é o volume em \mathrm{m^{3}}. Isolando m:
m = \rho \, V.
Substituindo \rho = 1030\\ \mathrm{kg/m^{3}} e o volume calculado:
m = 1030 \cdot 0,000678584\\ \mathrm{kg} \approx 0,69894152\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas (opcional): 0,69894152\\ \mathrm{kg} = 698,94152\\ \mathrm{g} \approx 699\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Verificação rápida de ordem de grandeza: o volume é da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e a densidade é cerca de 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}, então a massa deve ficar da ordem de 10^{-1} a 10^{0}\\ \mathrm{kg} — ou seja, algumas centenas de gramas. O valor obtido ( \approx 0,699\\ \mathrm{kg}) está coerente com essa estimativa. Força aí — já era cálculo chato, mas tá feito!

Resposta

m \approx 0,69894\\ \mathrm{kg} \approx 699\\ \mathrm{g}

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