*19. Esboce o gráfico da função -8 \operatorname{sen} 2 \pi 80 t usando como unidade do eixo das abscissas:
a) o ângulo em graus.
b) o ângulo em radianos.
c) o tempo em segundos.

Passo 1

O enunciado dá a função y(t) = -8\operatorname{sen}(2\pi 80 t) e pede para esboçar o gráfico usando, separadamente, três escolhas de unidade no eixo horizontal (abscissas):
  • (a) o ângulo em graus;
  • (b) o ângulo em radianos;
  • (c) o tempo em segundos.
Dados fornecidos que vamos usar:
  • Amplitude: o coeficiente multiplicativo é 8 (valor absoluto).
  • Argumento da função seno: \theta(t)=2\pi 80 t (em radianos).
    O objetivo é, para cada caso, escrever a forma da função em termos da variável do eixo x, calcular o período nessa unidade e indicar pontos-chave (zeros, máximos, mínimos) para esboçar um período típico.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicos que vamos aplicar (explicando devagar):
  • Amplitude: é o valor máximo absoluto que a função atinge. Para y(t)=-8\operatorname{sen}(\cdot) a amplitude é \;8.
  • Frequência e período: se o argumento tem a forma \omega t com \omega em rad/s, então \omega=2\pi f e f é a frequência (Hz). O período é T=\dfrac{1}{f}.
    Aqui \omega = 2\pi 80. Logo f=80\quad\text{(Hz)},\qquad T=\frac{1}{80}=0,0125\\ \text{s}.Explicando: a cada T segundos o argumento \theta aumenta de 2\pi e o seno repete.
  • Período em termos do argumento (ângulo): o seno tem período 2\pi radianos, ou 360^\circ.
  • Conversão graus↔radianos: um ângulo \alpha em graus corresponde a \dfrac{\pi}{180}\alpha radianos e vice-versa \alpha^\circ = \dfrac{180}{\pi}\,\text{(radianos)}.

Passo 3

Queremos o gráfico com o eixo horizontal medido em graus; chame a variável do eixo de x (em graus). O argumento da função em radianos é \theta = 2\pi 80 t. Se usarmos x como esse ângulo em graus, então
\theta \;=\; \frac{\pi}{180}x.
Portanto a função em termos de x (graus) fica
y(x) = -8\operatorname{sen}\!\bigg(\frac{\pi}{180}x\bigg).
Período em graus: como o seno repete quando \theta aumenta de 2\pi rad, isso corresponde a um aumento em x de
\Delta x = \frac{180}{\pi}\cdot 2\pi = 360^\circ.
Pontos-chave num período 0\le x\le 360^\circ (calculei usando \theta=\dfrac{\pi}{180}x):
  • x=0^\circ:\; y=0.
  • x=90^\circ:\; \theta=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow y=-8 (mínimo).
  • x=180^\circ:\; \theta=\pi\Rightarrow y=0.
  • x=270^\circ:\; \theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow y=8 (máximo).
  • x=360^\circ:\; y=0 (volta ao zero).
    Com esses pontos traça-se a curva: começa em 0, vai a -8 em 90^\circ, volta a 0 em 180^\circ, atinge 8 em 270^\circ e volta a 0 em 360^\circ. Amplitude 8, eixo médio y=0.

Passo 4

Agora use x em radianos (o próprio argumento \theta). Como \theta=2\pi 80 t, se medirmos as abscissas diretamente em radianos então a função é simplesmente
y(x) = -8\operatorname{sen}(x),
onde uma volta completa (um período) corresponde a \Delta x = 2\pi radianos (porque o seno tem período 2\pi). Pontos-chave no intervalo 0\le x\le 2\pi:
  • x=0:\; y=0.
  • x=\dfrac{\pi}{2}:\; y=-8 (mínimo).
  • x=\pi:\; y=0.
  • x=\dfrac{3\pi}{2}:\; y=8 (máximo).
  • x=2\pi:\; y=0.
    Mesma forma geral do seno, só que com sinal invertido (o menor aparece em \pi/2 em vez de -\pi/2). Para esboçar, marque esses pontos e desenhe a curva senoidal entre eles.

Passo 5

Aqui a abscissa é o tempo t (em segundos). A função já está em termos de t:
y(t) = -8\operatorname{sen}(2\pi 80 t).
Já calculamos f=80 Hz e T=\dfrac{1}{80}=0,0125\\ \text{s}. Para esboçar, é útil calcular os tempos onde ocorrem zeros, mínimos e máximos dentro de um período 0\le t\le T.
Resolvendo para os pontos importantes (detalhando):
  • Zeros quando o argumento \theta=2\pi 80 t = k\pi (com k inteiro). Assim t = \frac{k\pi}{2\pi 80} = \frac{k}{160}.Dentro de 0\le t\le T (onde T=1/80=2/160) temos zeros em t=0,\quad t=\frac{1}{160}=0,00625\\ \text{s},\quad t=\frac{2}{160}=\frac{1}{80}=0,0125\\ \text{s}.
  • Mínimo (valor -8) quando \theta=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, ou seja t=\frac{\pi/2}{2\pi 80}+\frac{k}{80}=\frac{1}{320}+\frac{k}{80}.No primeiro período ( k=0) temos t=\frac{1}{320}=0,003125\\ \text{s}\quad\Rightarrow y=-8.
  • Máximo (valor 8) quando \theta=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k, ou seja t=\frac{3}{320}+\frac{k}{80}.No primeiro período ( k=0): t=\frac{3}{320}=0,009375\\ \text{s}\quad\Rightarrow y=8.
Resumo de pontos em um período 0\le t\le 0,0125:
  • t=0: y=0.
  • t=0,003125\\ \text{s}: y=-8 (mínimo).
  • t=0,00625\\ \text{s}: y=0.
  • t=0,009375\\ \text{s}: y=8 (máximo).
  • t=0,0125\\ \text{s}: y=0 (fim do período).
Para esboçar: coloque esses pontos no eixo tempo e ligue com uma curva senoidal suave. Repare que o sinal negativo faz com que a crista positiva ocorra depois (em t=0,009375 s) e a depressão em t=0,003125 s.

Passo 6

Dicas práticas para desenhar à mão (rápido, tipo prova):
  • Marque o eixo horizontal com a unidade pedida (graus, radianos ou segundos).
  • Marque o intervalo de um período: 360^\circ, 2\pi rad, ou T=0,0125\\ \text{s}.
  • Marque os cinco pontos-chave (0, primeiro quarto, meio, terceiro quarto, fim) e seus valores 0,-8,0,8,0.
  • Desenhe uma curva suave passando por esses pontos (sem cantos) — isso dá um esboço correto de um período; repita se quiser mais ciclos.
  • Lembre-se: amplitude 8, centro em y=0, sinal negativo inverte as cristas/troughs do seno habitual.

Resposta

a) y(x)=-8\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{180}x\big). Amplitude 8. Período 360^\circ. Pontos: (0^\circ,0), (90^\circ,-8), (180^\circ,0), (270^\circ,8), (360^\circ,0).
b) y(x)=-8\operatorname{sen}(x) (com x em rad). Amplitude 8. Período 2\pi. Pontos: (0,0), (\tfrac{\pi}{2},-8), (\pi,0), (\tfrac{3\pi}{2},8), (2\pi,0).
c) y(t)=-8\operatorname{sen}(2\pi 80 t). Amplitude 8. Período T=\tfrac{1}{80}=0,0125\\ \text{s}. Pontos em um período: (0,0), (0,003125\\ \text{s},-8), (0,00625\\ \text{s},0), (0,009375\\ \text{s},8), (0,0125\\ \text{s},0).

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