*19. Esboce o gráfico da função
usando como unidade do eixo das abscissas:
a) o ângulo em graus.
b) o ângulo em radianos.
c) o tempo em segundos.
a) o ângulo em graus.
b) o ângulo em radianos.
c) o tempo em segundos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para esboçar o gráfico usando, separadamente, três escolhas de unidade no eixo horizontal (abscissas):
- (a) o ângulo em graus;
- (b) o ângulo em radianos;
- (c) o tempo em segundos.
Dados fornecidos que vamos usar:
- Amplitude: o coeficiente multiplicativo é
(valor absoluto). - Argumento da função seno:
(em radianos).
O objetivo é, para cada caso, escrever a forma da função em termos da variável do eixo, calcular o período nessa unidade e indicar pontos-chave (zeros, máximos, mínimos) para esboçar um período típico.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicos que vamos aplicar (explicando devagar):
- Amplitude: é o valor máximo absoluto que a função atinge. Para
a amplitude é . - Frequência e período: se o argumento tem a forma
com em rad/s, então e é a frequência (Hz). O período é .
Aqui. Logo Explicando: a cada segundos o argumento aumenta de e o seno repete. - Período em termos do argumento (ângulo): o seno tem período
radianos, ou . - Conversão graus↔radianos: um ângulo
em graus corresponde a radianos e vice-versa .
Passo 3
Queremos o gráfico com o eixo horizontal medido em graus; chame a variável do eixo de
(em graus). O argumento da função em radianos é
. Se usarmos
como esse ângulo em graus, então
Portanto a função em termos de
(graus) fica
Período em graus: como o seno repete quando
aumenta de
rad, isso corresponde a um aumento em
de
Pontos-chave num período
(calculei usando
):
-
. -
(mínimo). -
. -
(máximo). -
(volta ao zero).
Com esses pontos traça-se a curva: começa em, vai a em , volta a em , atinge em e volta a em . Amplitude , eixo médio .
Passo 4
Agora use
em radianos (o próprio argumento
). Como
, se medirmos as abscissas diretamente em radianos então a função é simplesmente
onde uma volta completa (um período) corresponde a
radianos (porque o seno tem período
). Pontos-chave no intervalo
:
-
. -
(mínimo). -
. -
(máximo). -
.
Mesma forma geral do seno, só que com sinal invertido (o menor aparece emem vez de ). Para esboçar, marque esses pontos e desenhe a curva senoidal entre eles.
Passo 5
Aqui a abscissa é o tempo
(em segundos). A função já está em termos de
:
Já calculamos
Hz e
. Para esboçar, é útil calcular os tempos onde ocorrem zeros, mínimos e máximos dentro de um período
.
Resolvendo para os pontos importantes (detalhando):
- Zeros quando o argumento
(com inteiro). Assim Dentro de (onde ) temos zeros em - Mínimo (valor
) quando , ou seja No primeiro período ( ) temos - Máximo (valor
) quando , ou seja No primeiro período ( ):
Resumo de pontos em um período
:
-
: . -
: (mínimo). -
: . -
: (máximo). -
: (fim do período).
Para esboçar: coloque esses pontos no eixo tempo e ligue com uma curva senoidal suave. Repare que o sinal negativo faz com que a crista positiva ocorra depois (em
s) e a depressão em
s.
Passo 6
Dicas práticas para desenhar à mão (rápido, tipo prova):
- Marque o eixo horizontal com a unidade pedida (graus, radianos ou segundos).
- Marque o intervalo de um período:
, rad, ou . - Marque os cinco pontos-chave (0, primeiro quarto, meio, terceiro quarto, fim) e seus valores
. - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos (sem cantos) — isso dá um esboço correto de um período; repita se quiser mais ciclos.
- Lembre-se: amplitude
, centro em , sinal negativo inverte as cristas/troughs do seno habitual.
Resposta
a)
. Amplitude
. Período
. Pontos:
b) (com
em rad). Amplitude
. Período
. Pontos:
c) . Amplitude
. Período
. Pontos em um período:
b)
c)