3.19 O mastro A B, de 4,57 m, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2535 N , determine o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um mastro rígido AB de comprimento L = 4,57 m, fixo em A, e um cabo de aço ligado na ponta B e preso no ponto C de uma parede vertical. A tensão no cabo é T = 2535 N. O que se pede é o momento em A causado por essa força em B.
Conteúdo: equilíbrio de corpos rígidos – momento (torque) de uma força em relação a um ponto.
O que vamos usar:
  1. Definição do momento em A: M_A = r_AB × F (produto vetorial)
  2. Na prática, |M_A| = |r_AB|·|F|·sin φ, onde φ é o ângulo entre o vetor posição r_AB (do ponto A a B) e a força F aplicada em B.
  3. Para achar φ, precisamos extrair do desenho as componentes do cabo BC e comparar com a direção do mastro AB.

Passo 2

Definindo vetorialmente:
– Seja r_AB o vetor que leva A a B. Como o mastro tem comprimento L, |r_AB| = L = 4,57 m.
– A força da tração no cabo é F = T·û_BC, onde û_BC é o versor (vetor unitário) na direção do cabo (de B a C).
Pelo produto vetorial, o momento em A é
MA ;=; rABtimes F Longrightarrow |!MA!| ;=; |rAB|,|F|,sinphi
em que φ é o ângulo entre a linha do mastro AB e a linha de ação do cabo BC.

Passo 3

Agora vamos achar φ. Olhando o desenho (ou medindo as projeções):
  • A base A está na parede; o mastro AB “sai” da parede com comprimento 4,57 m.
  • O cabo vai de B até C na própria parede, subindo verticalmente uma altura h e andando horizontalmente uma distância d (que no nosso caso corresponde à projeção do mast**** e etc.).
Supondo que do desenho:
• o cabo sobe h = 3,05 m até C;
• e o mastro está totalmente “para fora” na horizontal d = 4,57 m.
Então a direção do cabo faz um ângulo θ com a horizontal dado por
theta = arctan!l(tfrachdr) = arctan!l(tfrac3,054,57r) approx 34,6^circ
Mas o mastro AB é horizontal, então o ângulo φ entre AB (horizontal) e BC é justamente θ.
Logo
phi = 34,6^circ Longrightarrow sinphi = sin(34,6^circ)approx 0,57

Passo 4

Agora plugamos tudo em |M_A| = L·T·sin φ:
|MA| = (4,57;m)times(2535;N)timessin(34,6^circ) approx 4,57 times 2535 times 0,57 approx 6600;Ncdot m

Resposta

O momento em A devido à tração de 2535 N no cabo é
boxed,|MA|approx 6,6times10^3;Ncdot m,
no sentido de “girar” o mastro para cima (sentido anti-horário, visto de quem olha pela parede).

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