(25 pts) Questão 03

Um jogador de beisebol bate uma bola de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 30,0 m / s, formando um ângulo de 30^circ acima da horizontal. Determine:
(10 pts) a) Dois instantes para os quais a altura da bola está a 10,0 m acima do nível inicial
(10 pts) b) Calcule os componentes vertical e horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item anterior.
( 5,0 pts ) c)Qual deve ser a menor distância horizontal que um espectador deve manter para evitar ser atingido pela bola durante sua descida?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um jogador de beisebol que bate uma bola com uma velocidade inicial de 30,0, m/s formando um ângulo de 30^circ acima da horizontal. O que isso significa? Estamos lidando com movimento projetil, que é quando um objeto é lançado obliquamente e segue uma trajetória curva devido à gravidade. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, usar as equações do movimento vertical para encontrar os instantes em que a bola está a 10,0, m de altura, calcular as velocidades nesses instantes e, por fim, determinar a distância mínima que um espectador deve manter para não ser atingido pela bola durante sua descida.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Isso é essencial porque no movimento projetil, a velocidade horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a velocidade vertical é afetada pela gravidade.
Usamos as seguintes fórmulas para decomposição:
vx = v cdot cos(theta)
vy = v cdot sin(theta)
Onde:
  • v = 30,0, m/s é a velocidade inicial.
  • theta = 30^circ é o ângulo de lançamento.
Calculando:
vx = 30,0 cdot cos(30^circ) = 30,0 cdot raiz32 approx 25,98, m/s
vy = 30,0 cdot sin(30^circ) = 30,0 cdot 12 = 15,0, m/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar os instantes em que a bola está a 10,0, m acima do nível inicial. Para isso, usamos a equação da posição vertical no movimento uniformemente variado:
y(t) = vy cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y(t) é a altura no tempo t.
  • g = 9,8, m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Queremos y(t) = 10,0, m, então:
10 = 15,0 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Simplificando:
4,9 t^2 - 15,0 t + 10 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para t usando a fórmula de Bhaskara:
t = 15,0 pm raiz(15,0)^2 - 4 cdot 4,9 cdot 102 cdot 4,9
t = 15,0 pm raiz225 - 1969,8
t = 15,0 pm raiz299,8
t approx 15,0 pm 5,3859,8
Então, temos dois tempos:
t1 approx 15,0 - 5,3859,8 approx 9,6159,8 approx 0,98, s
t2 approx 15,0 + 5,3859,8 approx 20,3859,8 approx 2,08, s

Passo 4

Com os tempos t1 approx 0,98, s e t2 approx 2,08, s, vamos calcular as componentes da velocidade nos dois instantes.
A componente horizontal da velocidade ( vx) permanece constante durante todo o voo:
vx = 25,98, m/s
A componente vertical da velocidade ( vy) em qualquer instante é dada por:
vy(t) = vy - g t
Onde:
  • vy = 15,0, m/s é a velocidade inicial vertical.
Calculando para t1:
vy(0,98) = 15,0 - 9,8 cdot 0,98 approx 15,0 - 9,604 approx 5,396, m/s
E para t2:
vy(2,08) = 15,0 - 9,8 cdot 2,08 approx 15,0 - 20,384 approx -5,384, m/s
(Note que a velocidade vertical é negativa no segundo instante, indicando que a bola está descendo.)

Passo 5

Por fim, vamos determinar a menor distância horizontal que um espectador deve manter para não ser atingido pela bola durante sua descida. Isso significa que queremos a posição horizontal da bola no instante t2, quando ela está descendo.
A posição horizontal ( x) é dada por:
x(t) = vx cdot t
Usando t2 approx 2,08, s:
x(2,08) = 25,98, m/s cdot 2,08, s approx 54,0, m
Portanto, a menor distância horizontal que o espectador deve manter é de aproximadamente 54,0, m.

Resposta

a) Os dois instantes em que a bola está a 10,0, m de altura são aproximadamente 0,98, s e 2,08, s.
b) Nos tempos t = 0,98, s e t = 2,08, s, as componentes da velocidade são:
  • Componente horizontal ( vx): 25,98, m/s em ambos os instantes.
  • Componente vertical ( vy):
    • Em 0,98, s: 5,396, m/s (subindo).
    • Em 2,08, s: -5,384, m/s (descendo).
c) A menor distância horizontal que o espectador deve manter para não ser atingido pela bola é de aproximadamente 54,0, m.

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