(25 pts) Questão 03
Um jogador de beisebol bate uma bola de forma que ela abandona o bastão com velocidade de
, formando um ângulo de
acima da horizontal. Determine:
(10 pts) a) Dois instantes para os quais a altura da bola está a
acima do nível inicial
(10 pts) b) Calcule os componentes vertical e horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item anterior.
(
) c)Qual deve ser a menor distância horizontal que um espectador deve manter para evitar ser atingido pela bola durante sua descida?
(10 pts) a) Dois instantes para os quais a altura da bola está a
(10 pts) b) Calcule os componentes vertical e horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item anterior.
(
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um jogador de beisebol que bate uma bola com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
acima da horizontal. O que isso significa? Estamos lidando com movimento projetil, que é quando um objeto é lançado obliquamente e segue uma trajetória curva devido à gravidade. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, usar as equações do movimento vertical para encontrar os instantes em que a bola está a
de altura, calcular as velocidades nesses instantes e, por fim, determinar a distância mínima que um espectador deve manter para não ser atingido pela bola durante sua descida.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso é essencial porque no movimento projetil, a velocidade horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a velocidade vertical é afetada pela gravidade.
Usamos as seguintes fórmulas para decomposição:
Onde:
-
é a velocidade inicial. -
é o ângulo de lançamento.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os instantes em que a bola está a
acima do nível inicial. Para isso, usamos a equação da posição vertical no movimento uniformemente variado:
Onde:
-
é a altura no tempo . -
é a aceleração da gravidade.
Queremos
, então:
Simplificando:
Resolvendo essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois tempos:
Passo 4
Com os tempos
e
, vamos calcular as componentes da velocidade nos dois instantes.
A componente horizontal da velocidade (
) permanece constante durante todo o voo:
A componente vertical da velocidade (
) em qualquer instante é dada por:
Onde:
-
é a velocidade inicial vertical.
Calculando para
:
E para
:
(Note que a velocidade vertical é negativa no segundo instante, indicando que a bola está descendo.)
Passo 5
Por fim, vamos determinar a menor distância horizontal que um espectador deve manter para não ser atingido pela bola durante sua descida. Isso significa que queremos a posição horizontal da bola no instante
, quando ela está descendo.
A posição horizontal (
) é dada por:
Usando
:
Portanto, a menor distância horizontal que o espectador deve manter é de aproximadamente
.
Resposta
a) Os dois instantes em que a bola está a
de altura são aproximadamente
e
.
b) Nos tempos
e
, as componentes da velocidade são:
-
Componente horizontal (
): em ambos os instantes. -
Componente vertical (
): - Em
: (subindo). - Em
: (descendo).
- Em
c) A menor distância horizontal que o espectador deve manter para não ser atingido pela bola é de aproximadamente
.