Em um dia em que a velocidade do som é igual a
, a frequência fundamental de um tubo de órgão fechado é igual a 240 Hz . a) Qual é o comprimento desse tubo fechado? b) O segundo sobretom desse tubo possui o mesmo comprimento de onda que o terceiro harmônico de um tubo aberto. Qual é o comprimento do tubo aberto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre tubos de órgão e como eles vibram para produzir sons. A gente sabe que a velocidade do som é 345 m/s e que a frequência fundamental de um tubo fechado é 240 Hz. A gente vai precisar usar conceitos de ondas estacionárias em tubos fechados e abertos, além de entender harmônicos e sobretons.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o comprimento do tubo fechado. Em um tubo fechado, a frequência fundamental (a menor frequência que o tubo pode produzir) está relacionada ao comprimento do tubo pela fórmula:
Onde:
- $ f_1 $ é a frequência fundamental,
- $ v $ é a velocidade do som,
- $ L $ é o comprimento do tubo.
Passo 3
Vamos isolar $ L $ na fórmula para encontrar o comprimento do tubo:
Substituindo os valores que a gente tem:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b. A segunda sobretom de um tubo fechado corresponde ao terceiro harmônico. A fórmula para os harmônicos em um tubo fechado é:
Para um tubo aberto, os harmônicos são todos os múltiplos inteiros. Mas a gente precisa relacionar as ondas.
Passo 5
A segunda sobretom do tubo fechado é o terceiro harmônico ($ n = 3 $):
A relação de comprimento de onda ($ \lambda $) para o tubo aberto e o tubo fechado vai nos ajudar a encontrar o comprimento do tubo aberto.
Passo 6
Para o tubo aberto, o comprimento está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
E a velocidade do som também está relacionada pela fórmula:
Passo 7
Vamos encontrar a comprimento de onda do terceiro harmônico do tubo aberto:
Passo 8
Agora, encontramos o comprimento do tubo aberto:
Resposta
a) O comprimento do tubo fechado é aproximadamente 0,359 metros.
b) O comprimento do tubo aberto é aproximadamente 0,240 metros.