Em um dia em que a velocidade do som é igual a 345 m / s, a frequência fundamental de um tubo de órgão fechado é igual a 240 Hz . a) Qual é o comprimento desse tubo fechado? b) O segundo sobretom desse tubo possui o mesmo comprimento de onda que o terceiro harmônico de um tubo aberto. Qual é o comprimento do tubo aberto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre tubos de órgão e como eles vibram para produzir sons. A gente sabe que a velocidade do som é 345 m/s e que a frequência fundamental de um tubo fechado é 240 Hz. A gente vai precisar usar conceitos de ondas estacionárias em tubos fechados e abertos, além de entender harmônicos e sobretons.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o comprimento do tubo fechado. Em um tubo fechado, a frequência fundamental (a menor frequência que o tubo pode produzir) está relacionada ao comprimento do tubo pela fórmula:
f1 = v4L
Onde:
  • $ f_1 $ é a frequência fundamental,
  • $ v $ é a velocidade do som,
  • $ L $ é o comprimento do tubo.

Passo 3

Vamos isolar $ L $ na fórmula para encontrar o comprimento do tubo:
L
Substituindo os valores que a gente tem:
L = v4f1

Passo 4

Agora, vamos para a parte b. A segunda sobretom de um tubo fechado corresponde ao terceiro harmônico. A fórmula para os harmônicos em um tubo fechado é:
fn = n times f1
Para um tubo aberto, os harmônicos são todos os múltiplos inteiros. Mas a gente precisa relacionar as ondas.

Passo 5

A segunda sobretom do tubo fechado é o terceiro harmônico ($ n = 3 $):
n = 3
A relação de comprimento de onda ($ \lambda $) para o tubo aberto e o tubo fechado vai nos ajudar a encontrar o comprimento do tubo aberto.

Passo 6

Para o tubo aberto, o comprimento está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
Laberto = lambda2
E a velocidade do som também está relacionada pela fórmula:
v = f times lambda

Passo 7

Vamos encontrar a comprimento de onda do terceiro harmônico do tubo aberto:
lambda = vf = 345 , m/s720 , Hz approx 0,479 , m

Passo 8

Agora, encontramos o comprimento do tubo aberto:
Laberto = 0,479 , m2 approx 0,240 , m

Resposta

a) O comprimento do tubo fechado é aproximadamente 0,359 metros.
b) O comprimento do tubo aberto é aproximadamente 0,240 metros.

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