19 Problema

Uma distribuição de carga com simetria esférica tem uma densidade de carga \rho(r)=k r^{-n}, onde k e n são constantes positivas e 0 \leq r \leq R. Calcule a energia eletrostática desta distribuição de carga. Para que valores de n a energia é finita?

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade de carga esfericamente simétrica
\rho(r)=k\,r^{-n},\quad 0\le r\le R,
e pede a energia eletrostática de autocarga desta distribuição. Vamos aplicar a lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) e em seguida usar a fórmula da energia em termos de energia de campo
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo espaço}}E^{2}\,dV.ç

Passo 2

Primeiro calculamos a carga total contida numa esfera de raio r. Por simetria,
Q(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\;4\pi k\int_{0}^{r}r'^{2-n}\,dr'.
Para n\neq3 isso dá
Q(r)=\frac{4\pi k}{3-n}\,r^{3-n}.

Passo 3

Pela lei de Gauss, para r\le R temos
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q(r)}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{Q(r)}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{k}{\varepsilon_{0}(3-n)}\,r^{1-n}.

Passo 4

A energia de campo é
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{0}^{R}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr =\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{0}^{R} \frac{k^{2}}{\varepsilon_{0}^{2}(3-n)^{2}}\,r^{2(1-n)}\,4\pi r^{2}\,dr.
Isso simplifica para
U=\frac{2\pi k^{2}}{\varepsilon_{0}(3-n)^{2}} \int_{0}^{R}r^{4-2n}\,dr.

Passo 5

Avaliamo a integral
\int_{0}^{R}r^{4-2n}\,dr =\begin{cases} \dfrac{R^{5-2n}}{5-2n},&n\neq\tfrac{5}{2},\\[1em] \displaystyle\int_{0}^{R}\frac{dr}{r} \;\text{(logaritmo divergente)},&n=\tfrac{5}{2}. \end{cases}
Para que não haja divergência no limite r\to0 precisamos que o expoente satisfaça
4-2n>-1 \quad\Longrightarrow\quad n<\tfrac{5}{2}.
Assim, para n<\tfrac{5}{2} obtemos
U=\frac{2\pi k^{2}}{\varepsilon_{0}(3-n)^{2}(5-2n)}\;R^{5-2n}.]

Resposta

A energia eletrostática é
U=\frac{2\pi k^{2}}{\varepsilon_{0}(3-n)^{2}(5-2n)}\;R^{5-2n} \quad\text{e é finita somente se}\quad n<\frac{5}{2}.é

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