14 Problema

Considere uma caixa retangular submetida às condições de contorno
\begin{aligned} V(0, y, z) & =V(a, y, z)=V_{0} \\\ V(x, 0, z) & =V(x, b, z)=V_{0} \sin x \\\ V(x, y, z) & =V(x, y, c)=V_{0} \cos y . \end{aligned}
Encontre o potencial dentro da caixa.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace
\nabla^2 V = 0
no paralelepípedo
0 \le x \le a,\quad 0 \le y \le b,\quad 0 \le z \le c
com as condições de contorno de Dirichlet dadas:
\begin{aligned} V(0,y,z)&=V(a,y,z)=V_{0},\\\ V(x,0,z)&=V(x,b,z)=V_{0}\,\sin x,\\\ V(x,y,0)&=V(x,y,c)=V_{0}\,\cos y. \end{aligned}
O conteúdo é teoria de potencial (equação de Laplace) e Dirichlet em um domínio retangular.

Passo 2

Para haver solução única de Laplace com contorno de Dirichlet, o valor de V deve ser consistente em cada aresta comum a duas faces. Por exemplo, na aresta x=0 e y=0 (com 0<z<c) temos duas especificações:
  • Pela face x=0: V(0,0,z)=V_{0}. - Pela face y=0: V(0,0,z)=V_{0}\,\sin(0)=0. Esses dois valores só coincidem se V_{0}=0, mas o enunciado não impõe isso.

Passo 3

Como nas arestas de interseção das faces x=0 e y=0 (e em outras arestas semelhantes) as condições prescritas são contraditórias (não coincidem), não existe função V(x,y,z) que satisfaça todas as seis condições de contorno ao mesmo tempo.

Resposta

Não há solução: as condições de contorno são incompatíveis nas arestas do paralelepípedo.

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