14 Problema
Considere uma caixa retangular submetida às condições de contorno
Encontre o potencial dentro da caixa.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace
no paralelepípedo
com as condições de contorno de Dirichlet dadas:
O conteúdo é teoria de potencial (equação de Laplace) e Dirichlet em um domínio retangular.
Passo 2
Para haver solução única de Laplace com contorno de Dirichlet, o valor de
deve ser consistente em cada aresta comum a duas faces. Por exemplo, na aresta
e
(com
) temos duas especificações:
- Pela face
: - Pela face : Esses dois valores só coincidem se , mas o enunciado não impõe isso.
Passo 3
Como nas arestas de interseção das faces
e
(e em outras arestas semelhantes) as condições prescritas são contraditórias (não coincidem), não existe função
que satisfaça todas as seis condições de contorno ao mesmo tempo.
Resposta
Não há solução: as condições de contorno são incompatíveis nas arestas do paralelepípedo.