20 Problema
Duas cargas pontuais
, separadas por uma distância
, criam campos
e
, respectivamente. A energia potencial do sistema pode, então, ser expresa por
em que a integral é por todo o espaço. Os dois primeiros termos correspondem às autoenergias de cada carga pontual e devem ser, divergentes. Mostre que o termo restante é a energia de interação entre duas cargas, ou seja,
Passo 1
O enunciado entregou duas cargas pontuais
e
separadas por uma distância
. Cada carga gera um campo elétrico,
e
, e a energia potencial total do sistema pode ser escrita como
Os termos com
e
divergem (autoenergias), mas o termo cruzado
deve corresponder à energia de interação
Para mostrar isso, vamos usar as relações do potencial elétrico, o teorema da divergência e a lei de Gauss.
Passo 2
A relação entre o campo e o potencial elétrico é
onde
Substituindo em
temos
Passo 3
Usamos a identidade vetorial
Reescrevendo
isolamos
Logo
Passo 4
Integramos sobre todo o espaço
e aplicamos o teorema da divergência ao segundo termo:
O último integral vira integral de superfície no infinito:
Como
e
, o produto decai como
e o fluxo no infinito se anula. Sobram, portanto, só os términos de volume:
Passo 5
Pela lei de Gauss em forma diferencial,
onde
. Então
Como
, resulta
Passo 6
Multiplicando por
obtemos exatamente o termo cruzado da energia:
que é a energia de interação entre as duas cargas.