{ }^{19} QUESTÃO ( 2,5 pontos)

010

Dada uma máquina opelando com um mol de um gás ideal de c_{p, m}=\frac{7}{2} R realiza o seguinte ciclo.

Determine:

a) q, w, \Delta U, \Delta H e \Delta S para cada etapa e para o ciclo.
i) Inicialmente a 2,50atm expande isobaricamente até duplicar seu volume atingindo 400 K , depois;
ii) Resfria-se adiabaticamente e reversivelmente, depois;
iii) Comprime-se isotermicamente atingindo a condição inicial.
b) Represente o ciclo no diagrama ST.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico reversível de um mol de gás ideal com c_{p,m}=\tfrac{7}{2}R (logo \gamma=\tfrac{7/2}{5/2}=1{,}4). As três etapas são:
  1. expansão isobárica de P_1=2{,}50 atm até duplicar o volume e alcançar T_2=400,K;
  2. resfriamento adiabático reversível até o sistema atingir T_3;
  3. compressão isotérmica até retornar às condições iniciais.
    Queremos calcular em cada etapa e no ciclo:
    \;q,\;w,\;\Delta U,\;\Delta H,\;\Delta S.
    Usaremos:
  • Lei dos gases ideais PV=nRT,
  • para isobárico w=-P\Delta V, q=\Delta U-w, \Delta U=n\,c_v\Delta T, \Delta H=n\,c_p\Delta T, \Delta S=n\,c_p\ln\frac{T_2}{T_1};
  • para adiabático reversível q=0,\;\Delta S=0,\;\Delta U=w;
  • para isotérmico reversível \Delta U=0,\;\Delta H=0,\;w=-nRT\ln\frac{V_f}{V_i},\;q=-w,\;\Delta S=\frac{q}{T}.

Passo 2

Determinar o estado 1 e 2:
P1 = P2 = 2,50 atm=(2,50·1,013·10^5) Pa=2,5325·10^5 Pa.
Como na etapa 1 o volume dobra e T_2=400,K, então
T_1=\frac{T_2}{2}=200\text{ K}.
Usando V_1=\frac{nRT_1}{P_1} com n=1, R=8,314,J/mol K:
V_1=\frac{8,314\cdot200}{2,5325\times10^5}\approx6,566\times10^{-3}\text{ m}^3, \quad V_2=2V_1\approx1,313\times10^{-2}\text{ m}^3.
Para a etapa ii (adiabática reversível) chegamos a T_3=T_1=200,K e
V_3 =V_2\Bigl(\frac{T_2}{T_3}\Bigr)^{1/(\gamma-1)} =V_2\cdot2^{1/0{,}4} \approx1,313\times10^{-2}\cdot5{,}657 \approx7,433\times10^{-2}\text{ m}^3.

Passo 3

Etapa i (isobárica de 1→2):
\Delta T=T_2-T_1=200,K,
c_v=\tfrac{5}{2}R,\;c_p=\tfrac{7}{2}R.
\Delta U_1=n\,c_v\Delta T =1\cdot\frac{5}{2}R\,(200) =2{,}5\cdot8{,}314\cdot200 \approx4\,157\text{ J},
\Delta H_1=n\,c_p\Delta T =3{,}5\cdot8{,}314\cdot200 \approx5\,820\text{ J},
w_1=-P_1(V_2-V_1) =-nR(T_2-T_1) =-8{,}314\cdot200 \approx-1\,663\text{ J},
q_1=\Delta U_1-w_1 =4\,157-(-1\,663) \approx5\,820\text{ J},
\Delta S_1=n\,c_p\ln\frac{T_2}{T_1} =3{,}5\cdot8{,}314\ln2 \approx20{,}17\text{ J/K}.

Passo 4

Etapa ii (adiabática reversível de 2→3):
q_2=0,\quad \Delta S_2=0,
\Delta U_2=n\,c_v(T_3-T_2) =2{,}5\cdot8{,}314\,(200-400) \approx-4\,157\text{ J},
\Delta H_2=n\,c_p(T_3-T_2) =3{,}5\cdot8{,}314\,(200-400) \approx-5\,820\text{ J},
w_2=\Delta U_2-q_2 =-4\,157\text{ J}.

Passo 5

Etapa iii (isotérmica reversível de 3→1 a T=200 K):
\Delta U_3=0, \quad \Delta H_3=0,
w_3=-nRT\ln\frac{V_1}{V_3} =-8{,}314\cdot200\ln\frac{6{,}566\times10^{-3}}{7{,}433\times10^{-2}} \approx+4\,036\text{ J},
q_3=-w_3\approx-4\,036\text{ J}, \quad \Delta S_3=\frac{q_3}{T} \approx\frac{-4\,036}{200} \approx-20{,}18\text{ J/K}.

Passo 6

Ciclo completo (soma das três etapas):
q_{\rm ciclo} =q_1+q_2+q_3 \approx5\,820+0-4\,036 \approx1\,784\text{ J},
w_{\rm ciclo} =w_1+w_2+w_3 \approx-1\,663-4\,157+4\,036 \approx-1\,784\text{ J},
\Delta U_{\rm ciclo}=0, \quad \Delta H_{\rm ciclo}=0, \quad \Delta S_{\rm ciclo}\approx20{,}17+0-20{,}18\approx0.

Passo 7

Diagrama S T:
  • Trajeto 1→2: isobárico, T de 200→400 K e S aumenta de S_1 a S_2.
  • Trajeto 2→3: adiabático reversível, S= constante (vertical em S T) de T=400→200 K.
  • Trajeto 3→1: isotérmico a 200 K, S decresce de S_3 a S_1 (horizontal em S T).

Resposta

Etapa i (1→2, isobárica):
q_1\approx+5\,820 J,
w_1\approx-1\,663 J,
\Delta U_1\approx+4\,157 J,
\Delta H_1\approx+5\,820 J,
\Delta S_1\approx+20{,}17 J/K.
Etapa ii (2→3, adiabática reversível):
q_2=0,
w_2\approx-4\,157 J,
\Delta U_2\approx-4\,157 J,
\Delta H_2\approx-5\,820 J,
\Delta S_2=0.
Etapa iii (3→1, isotérmica):
q_3\approx-4\,036 J,
w_3\approx+4\,036 J,
\Delta U_3=0,
\Delta H_3=0,
\Delta S_3\approx-20{,}18 J/K.
Ciclo completo:
q_{\rm ciclo}\approx+1\,784 J,
w_{\rm ciclo}\approx-1\,784 J,
\Delta U_{\rm ciclo}=0,
\Delta H_{\rm ciclo}=0,
\Delta S_{\rm ciclo}\approx0.
Diagrama S T:
1→2 (inclinado subindo em T e S);
2→3 (vertical descendo em T, S constante);
3→1 (horizontal em T=200 K, diminuindo S).

Exercícios relacionados