1-20 Se A for um vetor constante, demonstre que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é um vetor constante (ou seja, suas componentes não dependem de ). - Dado implícito:
é o vetor posição, cujas componentes são as coordenadas espaciais; vou tomar . - Pedido: demonstrar que
Passo 2
Escrevendo os vetores em componentes (isso facilita as contas):
- Seja
, com constantes. - Seja
.
O produto escalar (dot product) entree é, por definição,
Explicação curta: o produto escalar multiplica componente a componente e soma.
Passo 3
Definição do operador gradiente que vamos usar:
O gradiente de um campo escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Aqui
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais uma a uma, usando a linearidade da derivada e que
são constantes.
- Derivada parcial em relação a
:
Como
e
, segue
- Derivada parcial em relação a
:
pelos mesmos motivos.
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Juntando as componentes obtidas, o gradiente é
Mas
é exatamente o vetor
. Portanto
como queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário didático e observação importante:
- A razão pela qual isso funciona é que
são constantes: as derivadas só “pegam” as coordenadas . - Exemplo concreto: se
, então e . - Observação extra (um pouco mais avançada): se
dependesse da posição, ou seja , então apareceria um termo extra pela regra do produto; em componentes
que em notação vetorial pode ser escrito como
(ou usando a operação
sobre
).