1-20 Se A for um vetor constante, demonstre que
\nabla(\mathrm{A} \cdot \mathrm{r})=\mathrm{A}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \mathrm{A} é um vetor constante (ou seja, suas componentes não dependem de x,y,z).
  • Dado implícito: \mathrm{r} é o vetor posição, cujas componentes são as coordenadas espaciais; vou tomar \mathrm{r}=(x,y,z).
  • Pedido: demonstrar que
\nabla(\mathrm{A}\cdot\mathrm{r})=\mathrm{A}.

Passo 2

Escrevendo os vetores em componentes (isso facilita as contas):
  • Seja \mathrm{A}=(A_x,A_y,A_z), com A_x,A_y,A_z constantes.
  • Seja \mathrm{r}=(x,y,z).
    O produto escalar (dot product) entre \mathrm{A} e \mathrm{r} é, por definição,
\mathrm{A}\cdot\mathrm{r}=A_x x + A_y y + A_z z.
Explicação curta: o produto escalar multiplica componente a componente e soma.

Passo 3

Definição do operador gradiente que vamos usar:
\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
O gradiente de um campo escalar f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui f(x,y,z)=\mathrm{A}\cdot\mathrm{r}=A_x x + A_y y + A_z z.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais uma a uma, usando a linearidade da derivada e que A_x,A_y,A_z são constantes.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(A_x x + A_y y + A_z z) = A_x\frac{\partial x}{\partial x} + A_y\frac{\partial y}{\partial x} + A_z\frac{\partial z}{\partial x}.
Como \dfrac{\partial x}{\partial x}=1 e \dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial x}=0, segue
\frac{\partial}{\partial x}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_y,
pelos mesmos motivos.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial}{\partial z}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_z.

Passo 5

Juntando as componentes obtidas, o gradiente é
\nabla(\mathrm{A}\cdot\mathrm{r})=\left(A_x,A_y,A_z\right).
Mas \left(A_x,A_y,A_z\right) é exatamente o vetor \mathrm{A}. Portanto
\nabla(\mathrm{A}\cdot\mathrm{r})=\mathrm{A},
como queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário didático e observação importante:
  • A razão pela qual isso funciona é que A_x,A_y,A_z são constantes: as derivadas só “pegam” as coordenadas x,y,z.
  • Exemplo concreto: se \mathrm{A}=(2,3,4), então \mathrm{A}\cdot\mathrm{r}=2x+3y+4z e \nabla(2x+3y+4z)=(2,3,4)=\mathrm{A}.
  • Observação extra (um pouco mais avançada): se \mathrm{A} dependesse da posição, ou seja \mathrm{A}=\mathrm{A}(x,y,z), então apareceria um termo extra pela regra do produto; em componentes
\partial_j(A_i r_i) = A_j + (\partial_j A_i)\,r_i,
que em notação vetorial pode ser escrito como \nabla(A\cdot r)=A + (\nabla A)^\mathrm{T} r (ou usando a operação r\cdot\nabla sobre A).

Resposta

\nabla(\mathrm{A}\cdot\mathrm{r})=\mathrm{A}

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