19 Racionalize o denominador da expressão \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}

Passo 1

O enunciado nos pede para racionalizar o denominador da expressão \displaystyle \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}.
Este tipo de problema usa o conjugado para eliminar as raízes do denominador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}. Assim:
\frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}} \;\times\; \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}} = \frac{(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2}.

Passo 3

Calculamos o denominador, que é uma diferença de quadrados:
(\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = (a+b) - (a-b) = 2b.

Passo 4

Agora expandimos o numerador, que é o quadrado da diferença:
(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})^2 = (a+b) + (a-b) - 2\sqrt{(a+b)(a-b)} = 2a - 2\sqrt{a^2 - b^2}.

Passo 5

Substituindo no quociente obtemos
\frac{2a - 2\sqrt{a^2 - b^2}}{2b} = \frac{2\bigl(a - \sqrt{a^2 - b^2}\bigr)}{2b} = \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2}}{b}.

Resposta

\displaystyle \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2}}{b}

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