19- Uma superfície quente a 100^{\circ} \mathrm{C} deve ser resfriada pela fixação de aletas cilíndricas de alumínio ( \mathrm{k}=237 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 3 cm de comprimento e 0,25 \mathrm{~cm} de diâmetro, com distância de centro a centro de 0,6 \mathrm{~cm}. A temperatura do meio circundante é de 30^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor sobre a superfície é 35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{K}. Determine o número de aletas e a taxa de transferência de calor a partir da superfície de seção da placa 1 \mathrm{~m} \times 1 \mathrm{~m}. Determine também a eficiência global das aletas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Propriedades e dimensões das aletas cilíndricas:
    • condutividade térmica do alumínio: k=237\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • comprimento da aleta: L=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}
    • diâmetro da aleta: d=0,25\\ \mathrm{cm}=0,0025\\ \mathrm{m}
    • raio da aleta: r=\dfrac{d}{2}=0,00125\\ \mathrm{m}
    • distância centro-a-centro (pitch): s=0,6\\ \mathrm{cm}=0,006\\ \mathrm{m}
  • Condições do meio:
    • temperatura da superfície (base das aletas): T_b=100^\circ\mathrm{C}
    • temperatura do meio circundante: T_\infty=30^\circ\mathrm{C}
    • coeficiente de convecção: h=35\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
  • Geometria da placa:
    • área da superfície considerada: 1\\ \mathrm{m}\times1\\ \mathrm{m}=1\\ \mathrm{m^2}
O enunciado pede:
  1. Determinar o número de aletas nessa placa de 1\\ \mathrm{m}^2.
  2. Determinar a taxa total de transferência de calor a partir da superfície 1\\ \mathrm{m}\times1\\ \mathrm{m} com as aletas fixadas.
  3. Determinar a eficiência global das aletas (ou seja, eficiência geral do conjunto aletas + superfície exposta).

Passo 2

Planejamento rápido do método (sem resolver ainda): como as aletas são cilíndricas e o enunciado dá distância centro-a-centro s, assume-se que as aletas estão dispostas numa rede regular sobre a placa (arranjo quadrado), portanto o número total aproximado de aletas por metro quadrado é \bigl(1/s\bigr)^2. Vou calcular isso primeiro.
Cálculo do número de aletas:
N=\left(\dfrac{1}{s}\right)^2=\left(\dfrac{1}{0,006}\right)^2.
Agora eu faço os cálculos numéricos.

Passo 3

Cálculo numérico do número de aletas:
\frac{1}{0,006}=166{,}666\ldots
N=(166{,}666\ldots)^2\approx27777{,}78.
Como o número de aletas é inteiro, aproxima-se para cima (não se perde muita generalidade e normalmente estoque de aletas permite arredondar para inteiro). Assim:
N\approx27778\\ \text{aletas}.
Observação rápida e motivadora: são muitas aletas — nada de pânico, é comum em aletas tipo “pin” cobrirem superfícies grandes.

Passo 4

Agora calculamos a transferência de calor de uma única aleta cilíndrica (pin fin). Para isso precisamos da solução clássica para aleta de seção constante com convecção ao longo da lateral e na ponta. Primeiro definimos as grandezas geométricas úteis:
  • perímetro do cilindro (seção transversal): P=2\pi r.
  • área da seção transversal: A_c=\pi r^2.
  • área de superfície da aleta (lateral) =P L.
  • área da ponta (topo): A_{\rm tip}=\pi r^2.
  • diferença de temperatura de base para o fluido: \Delta T=T_b-T_\infty=100-30=70\\ \mathrm{K}.
Importante: para uma aleta de seção constante a solução envolve o parâmetro
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.
Para o cilindro isso simplifica (substituindo P e A_c):
m=\sqrt{\dfrac{h(2\pi r)}{k(\pi r^2)}}=\sqrt{\dfrac{2h}{k r}}.
Vou calcular m e mL numericamente.

Passo 5

Cálculo numérico de m e mL:
Dados h=35, k=237, r=0,00125\\ \mathrm{m}:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot35}{237\cdot0,00125}} =\sqrt{\dfrac{70}{0,29625}} =\sqrt{236{,}3636\ldots} \approx15{,}379.
mL=15{,}379\times0{,}03\approx0{,}46137.

Passo 6

Fórmula do calor conduzido por uma aleta cilíndrica com convecção lateral e na ponta.
A expressão padrão (resultado da solução da EDO da aleta) para o fluxo térmico de uma aleta de seção constante com convecção na lateral e na ponta é
q_f=\sqrt{h P k A_c}\,(T_b-T_\infty)\, \frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)}.
Explicando os termos:
  • \sqrt{hPkA_c} é um fator que combina propriedades de convecção, geometria e condutividade;
  • \dfrac{h}{m k} aparece por causa da condição de convecção na ponta;
  • \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são funções hiperbólicas vindo da solução da equação diferencial linear da aleta.
Vou calcular cada termo numericamente.

Passo 7

Cálculo numérico do termo \sqrt{hPkA_c} e do coeficiente \dfrac{h}{mk}.
Primeiro P e A_c:
P=2\pi r=2\pi(0{,}00125)=0{,}00785398\\ \mathrm{m},
A_c=\pi r^2=\pi(0{,}00125)^2=4{,}90874\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Produto h P k A_c:
hPkA_c=35\cdot0{,}00785398\cdot237\cdot4{,}90874\times10^{-6}\approx3{,}1987\times10^{-4}.
Logo
\sqrt{hPkA_c}\approx0{,}0178865\\ \mathrm{(unidade:\\ W/K)}.
Coeficiente
\frac{h}{m k}=\frac{35}{15{,}379\cdot237}\approx0{,}009606.
Agora as funções hiperbólicas em mL=0{,}46137:
\operatorname{sinh}(mL)\approx0{,}477896,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx1{,}108205.

Passo 8

Calcular q_f por substituição direta na fórmula:
Numerador interno:
\operatorname{sinh}(mL)+\frac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)\approx0{,}477896+0{,}009606\cdot1{,}108205\approx0{,}488536.
Denominador interno:
\operatorname{cosh}(mL)+\frac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)\approx1{,}108205+0{,}009606\cdot0{,}477896\approx1{,}112798.
Razão:
\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx\frac{0{,}488536}{1{,}112798}\approx0{,}4390.
Agora q_f:
q_f=\;0{,}0178865\cdot(70)\cdot0{,}4390\approx0{,}5492\\ \mathrm{W}.
Interpretação: cada aleta transfere aproximadamente 0{,}55\\ \mathrm{W} para o ambiente.

Passo 9

Calcular a eficiência de uma aleta individual ( \eta_f) — isso é útil para entender o aproveitamento da superfície da aleta.
Área de convecção da aleta (lateral + ponta):
A_{\rm fin}=P L + A_{\rm tip}=0{,}00785398\cdot0{,}03 + 4{,}90874\times10^{-6} \approx2{,}40528\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Se toda essa área estivesse à temperatura de base T_b, o calor convectado seria
q_{\text{max}}=h A_{\rm fin}(T_b-T_\infty)=35\cdot2{,}40528\times10^{-4}\cdot70\approx0{,}58929\\ \mathrm{W}.
Eficiência da aleta:
\eta_f=\dfrac{q_f}{q_{\text{max}}}\approx\dfrac{0{,}5492}{0{,}58929}\approx0{,}932\quad(\text{ou }93{,}2\%).
Comentário amigo: a aleta é bem eficiente — perde só cerca de 7\% em relação ao caso ideal onde toda a superfície estivesse à temperatura T_b.

Passo 10

Calcular a contribuição total das aletas e da superfície não aletada sobre a placa 1\\ \mathrm{m^2}.
  • Número de aletas N\approx27778 (veja Passo 3).
  • Calor total das aletas:
Q_{\rm fins}=N\cdot q_f\approx27778\cdot0{,}5492\approx15255{,}6\\ \mathrm{W}.
  • Área total ocupada pelas pontas das aletas (isto é, área que deixa de ser superfície plana exposta):
A_{\rm tip\\ total}=N\cdot A_{\rm tip}=27778\cdot4{,}90874\times10^{-6}\approx0{,}13635\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da placa exposta (entre as aletas) que ainda pode convectar diretamente:
A_{\rm exposta}=1{,}0 - A_{\rm tip\\ total}\approx1{,}0-0{,}13635=0{,}86365\\ \mathrm{m^2}.
  • Calor convectado pela área exposta da placa (assumindo essa área à temperatura da base T_b; isto é uma hipótese comum e razoável quando a placa tem boa condução térmica):
Q_{\rm plate}=h\cdot A_{\rm exposta}\cdot(T_b-T_\infty)=35\cdot0{,}86365\cdot70\approx2115{,}93\\ \mathrm{W}.
  • Calor total retirado da superfície (aletas + área exposta):
Q_{\rm total}=Q_{\rm fins}+Q_{\rm plate}\approx15255{,}6+2115{,}93\approx17371{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 11

Calcular a eficiência global das aletas (interpretação utilizada aqui).
Definição usada: eficiência global da superfície aletada (ou eficiência geral do conjunto) é a razão entre o calor real retirado Q_{\rm total} e o calor que seria retirado se toda a área convectante (área das aletas mais área exposta) estivesse à temperatura da base T_b. Ou seja,
\eta_{\rm global}=\dfrac{Q_{\rm total}}{h\,A_{\rm total}\,(T_b-T_\infty)},
onde
A_{\rm total}=A_{\rm fins\\ total}+A_{\rm exposta}
e
A_{\rm fins\\ total}=N\cdot A_{\rm fin}.
Calculando áreas:
A_{\rm fins\\ total}=27778\cdot2{,}40528\times10^{-4}\approx6{,}68134\\ \mathrm{m^2}.
A_{\rm total}=6{,}68134+0{,}86365\approx7{,}54499\\ \mathrm{m^2}.
Termo de referência h A_{\rm total}\Delta T:
h A_{\rm total}(T_b-T_\infty)=35\cdot7{,}54499\cdot70\approx18485{,}2\\ \mathrm{W}.
Finalmente a eficiência global:
\eta_{\rm global}=\dfrac{17371{,}5}{18485{,}2}\approx0{,}9397\quad(\text{ou }93{,}97\%\approx94{,}0\%).
Interpretação breve e encorajadora: a adição das aletas aumentou muito a área efetiva de troca; a eficiência global alta ( \approx94\%) mostra que as aletas estão fazendo um bom trabalho — a maioria da área convectante está sendo bem aproveitada.

Resposta

N\approx27778\\ \text{aletas}
Q_{\rm total}\approx1{,}7371\times10^{4}\\ \mathrm{W}
\eta_{\rm global}\approx0{,}94\\ \text{(ou }94{,\!}0\%\text{)}

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