19- Uma superfície quente a
deve ser resfriada pela fixação de aletas cilíndricas de alumínio (
) de 3 cm de comprimento e
de diâmetro, com distância de centro a centro de
. A temperatura do meio circundante é de
, e o coeficiente de transferência de calor sobre a superfície é
. Determine o número de aletas e a taxa de transferência de calor a partir da superfície de seção da placa
. Determine também a eficiência global das aletas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Propriedades e dimensões das aletas cilíndricas:
- condutividade térmica do alumínio:
- comprimento da aleta:
- diâmetro da aleta:
- raio da aleta:
- distância centro-a-centro (pitch):
- condutividade térmica do alumínio:
- Condições do meio:
- temperatura da superfície (base das aletas):
- temperatura do meio circundante:
- coeficiente de convecção:
- temperatura da superfície (base das aletas):
- Geometria da placa:
- área da superfície considerada:
- área da superfície considerada:
O enunciado pede:
- Determinar o número de aletas nessa placa de
. - Determinar a taxa total de transferência de calor a partir da superfície
com as aletas fixadas. - Determinar a eficiência global das aletas (ou seja, eficiência geral do conjunto aletas + superfície exposta).
Passo 2
Planejamento rápido do método (sem resolver ainda): como as aletas são cilíndricas e o enunciado dá distância centro-a-centro
, assume-se que as aletas estão dispostas numa rede regular sobre a placa (arranjo quadrado), portanto o número total aproximado de aletas por metro quadrado é
. Vou calcular isso primeiro.
Cálculo do número de aletas:
Agora eu faço os cálculos numéricos.
Passo 3
Cálculo numérico do número de aletas:
Como o número de aletas é inteiro, aproxima-se para cima (não se perde muita generalidade e normalmente estoque de aletas permite arredondar para inteiro). Assim:
Observação rápida e motivadora: são muitas aletas — nada de pânico, é comum em aletas tipo “pin” cobrirem superfícies grandes.
Passo 4
Agora calculamos a transferência de calor de uma única aleta cilíndrica (pin fin). Para isso precisamos da solução clássica para aleta de seção constante com convecção ao longo da lateral e na ponta. Primeiro definimos as grandezas geométricas úteis:
- perímetro do cilindro (seção transversal):
. - área da seção transversal:
. - área de superfície da aleta (lateral)
. - área da ponta (topo):
. - diferença de temperatura de base para o fluido:
.
Importante: para uma aleta de seção constante a solução envolve o parâmetro
Para o cilindro isso simplifica (substituindo
e
):
Vou calcular
e
numericamente.
Passo 5
Cálculo numérico de
e
:
Dados
,
,
:
Passo 6
Fórmula do calor conduzido por uma aleta cilíndrica com convecção lateral e na ponta.
A expressão padrão (resultado da solução da EDO da aleta) para o fluxo térmico de uma aleta de seção constante com convecção na lateral e na ponta é
Explicando os termos:
-
é um fator que combina propriedades de convecção, geometria e condutividade; -
aparece por causa da condição de convecção na ponta; -
e são funções hiperbólicas vindo da solução da equação diferencial linear da aleta.
Vou calcular cada termo numericamente.
Passo 7
Cálculo numérico do termo
e do coeficiente
.
Primeiro
e
:
Produto
:
Logo
Coeficiente
Agora as funções hiperbólicas em
:
Passo 8
Calcular
por substituição direta na fórmula:
Numerador interno:
Denominador interno:
Razão:
Agora
:
Interpretação: cada aleta transfere aproximadamente
para o ambiente.
Passo 9
Calcular a eficiência de uma aleta individual (
) — isso é útil para entender o aproveitamento da superfície da aleta.
Área de convecção da aleta (lateral + ponta):
Se toda essa área estivesse à temperatura de base
, o calor convectado seria
Eficiência da aleta:
Comentário amigo: a aleta é bem eficiente — perde só cerca de
em relação ao caso ideal onde toda a superfície estivesse à temperatura
.
Passo 10
Calcular a contribuição total das aletas e da superfície não aletada sobre a placa
.
- Número de aletas
(veja Passo 3). - Calor total das aletas:
- Área total ocupada pelas pontas das aletas (isto é, área que deixa de ser superfície plana exposta):
- Área da placa exposta (entre as aletas) que ainda pode convectar diretamente:
- Calor convectado pela área exposta da placa (assumindo essa área à temperatura da base
; isto é uma hipótese comum e razoável quando a placa tem boa condução térmica):
- Calor total retirado da superfície (aletas + área exposta):
Passo 11
Calcular a eficiência global das aletas (interpretação utilizada aqui).
Definição usada: eficiência global da superfície aletada (ou eficiência geral do conjunto) é a razão entre o calor real retirado
e o calor que seria retirado se toda a área convectante (área das aletas mais área exposta) estivesse à temperatura da base
. Ou seja,
onde
e
Calculando áreas:
Termo de referência
:
Finalmente a eficiência global:
Interpretação breve e encorajadora: a adição das aletas aumentou muito a área efetiva de troca; a eficiência global alta (
) mostra que as aletas estão fazendo um bom trabalho — a maioria da área convectante está sendo bem aproveitada.