Na base de uma parede plana a 400^{\circ} \mathrm{C} são afixadas 20 aletas puntiformes, cada uma com 200 mm de comprimento e 6 mm de diâmetro é feita de aço \left(\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e está exposta a um fluido dielétrico cuja temperatura é de 22^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente convectivo igual a 400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}., determine em condições de regime estacionário, propriedades constantes, radiação ausente e existência de troca de calor pela extremidade da base:
a) O calor perdido por cada aleta. O que deverá ser feito para melhorar (aumentar) a troca de calor?
b) E eficiência da aleta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (todos os números abaixo peguei do enunciado).
  • Temperatura da base da parede: \,T_b=400^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido: \,T_\infty=22^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura de referência: \,\theta_b=T_b-T_\infty=400-22=378.
  • Número de aletas: 20 (o enunciado pede o calor perdido por cada aleta).
  • Cada aleta é “puntiforme” (aleta tipo pino/circular), com:
    • comprimento (comprimento da aleta): \,L=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m},
    • diâmetro: \,D=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do material da aleta: condutividade térmica \,k=14\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
  • Coeficiente convectivo: \,h=400\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
  • Condições: regime estacionário, propriedades constantes, sem radiação, existe troca de calor na extremidade (ou seja, condição convectiva no topo da aleta).
  • O que pedir:
    (a) calor perdido por cada aleta (em condições dadas) e sugestão do que fazer para aumentar a troca de calor;
    (b) eficiência da aleta.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas (aula rápida e sem pular etapas).
  • Para uma aleta cilíndrica (pino) em regime estacionário e com troca convectiva na lateral e na extremidade, a temperatura ao longo da aleta satisfaz a equação de condução unidimensional com termo de perda por convecção:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde \theta(x)=T(x)-T_\infty é a diferença de temperatura local e
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Aqui:
    • P é o perímetro da seção transversal da aleta (para uma seção circular de diâmetro D: P=\pi D);
    • A_c é a área da seção transversal (para círculo: A_c=\dfrac{\pi D^{2}}{4});
    • k é a condutividade térmica da aleta;
    • h é o coeficiente convectivo do fluido.
  • Solução geral e condição de extremidade convectiva: a solução geral é \theta=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx). Aplicando \theta(0)=\theta_b e a condição de convecção na ponta -kA_c\left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=hP\,\theta(L) obtém-se a expressão padrão para o calor extraído por aleta:
q_f = m k A_c\,\theta_b\\ \frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Observação didática: a combinação m k A_c muitas vezes é escrita como \sqrt{hPkA_c}, pois m k A_c = kA_c\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{hPkA_c}. Para aletas muito longas (quando mL é grande) a fração acima tende a 1 e então q_f\approx\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b (limite da “aleta longa”).

Passo 3

Cálculo das propriedades geométricas da aleta (passo a passo, sem pular nada).
  • Perímetro da seção circular:
P=\pi D=\pi(0{,}006)=0{,}0188496\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal:
A_c=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}006)^{2}}{4}=2{,}82743\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área lateral (superfície) da aleta (sem contar ainda a ponta):
A_{\text{lat}}=P\,L=0{,}0188496\times0{,}2=0{,}00376992\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área da ponta (seção transversal):
A_{\text{tip}}=A_c=2{,}82743\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área total de superfície da aleta (lateral + ponta), usada na definição de eficiência:
A_f = A_{\text{lat}}+A_{\text{tip}}=0{,}00376992+2{,}82743\times10^{-5}=0{,}00379819\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo do parâmetro m e de quantidades auxiliares.
  • Use a forma simplificada para seções circulares: P/A_c = 4/D. Assim
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\frac{4h}{kD}}.
  • Substituindo os números:
m=\sqrt{\frac{4\cdot400}{14\cdot0{,}006}}=\sqrt{\frac{1600}{0{,}084}}=\sqrt{19047{,}619}=137{,}98\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto adimensional mL:
mL=137{,}98\times0{,}2=27{,}60.
Observação: mL é grande (≈27,6), o que indica que a aleta é “longuíssima” em termos de decaimento térmico (a temperatura cai bastante ao longo da aleta), portanto a aproximação de aleta longa é válida com boa precisão.
  • Calcule h/(m k) que aparece na expressão:
\frac{h}{m k}=\frac{400}{137{,}98\times14}=0{,}207.
  • Calcule m k A_c (ou \sqrt{hPkA_c}):
m k A_c = m\cdot k\cdot A_c =137{,}98\times14\times2{,}82743\times10^{-5}=0{,}05464\\ \mathrm{W/K}.

Passo 5

Cálculo do calor perdido por aleta usando a expressão exata e em seguida a aproximação (explicando por que a aproximação é boa).
  • A expressão exata (relembrando):
q_f = m k A_c\,\theta_b\\ \frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Para mL=27{,}60 as hiperbólicas são muito grandes, e \operatorname{tanh}(mL)\approx1. Nesse caso a fração tende a 1 com ótima aproximação. Assim, usando a aproximação de aleta longa:
q_f \approx m k A_c\,\theta_b.
  • Substituindo valores:
q_f \approx 0{,}05464\\ \mathrm{\frac{W}{K}}\times 378\\ \mathrm{K}=20{,}66\\ \mathrm{W}.
  • Conclusão numérica: cada aleta perde aproximadamente \,20{,}66\\ \mathrm{W} em regime estacionário nas condições dadas.
  • Observação de verificação: se fosse usado a expressão completa, o valor numérico difere muito pouco (a diferença seria ínfima porque mL já é grande), então 20{,}6\\ \mathrm{W} é um valor confiável.

Passo 6

Cálculo da eficiência da aleta (definição, explicação e cálculo numérico).
  • Definição empregada: eficiência da aleta \eta_f é a razão entre o calor real extraído pela aleta e o calor que seria extraído se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base ( \theta_b):
\eta_f=\frac{q_f}{h\,A_f\,\theta_b},
onde A_f é a área total de superfície da aleta (lateral + ponta), calculada no Passo 3.
  • Substituindo os números:
hA_f\theta_b = 400\times0{,}00379819\times378=574{,}29\\ \mathrm{W}.
\eta_f=\frac{20{,}66}{574{,}29}=0{,}0360\approx3{,}60\%.
  • Interpretação: a eficiência é muito baixa (≈3,6%) porque a aleta é fina e longa e a diferença de temperatura ao longo dela faz com que grande parte da superfície esteja muito mais fria que a base. Em outras palavras, muito da área não trabalha com a temperatura do pé da aleta.

Passo 7

O que fazer para aumentar a troca de calor (dicas práticas com justificativa física — versão curta e aplicável na prova).
  • Aumentar o coeficiente convectivo h: por exemplo forçando o escoamento (aumentar velocidade do fluido). Isso aumenta diretamente a perda por convecção em toda a superfície e aumenta m, tornando a aleta mais eficaz.
  • Aumentar a área de superfície disponível: aumentar o comprimento L (até certo ponto), aumentar o perímetro (usar aletas com maior perímetro por área de seção, ou aumentar o diâmetro D), ou usar perfis de aleta com maior área lateral (aletas finas retangulares, tubos com aletas helicoidais etc.).
  • Usar material com maior condutividade k: reduz a queda de temperatura interna, aproximando a temperatura da aleta da base e aumentando a transferência real.
  • Aumentar a espessura (no caso de pino: aumentar D) — isso aumenta A_c e também a área superficial, mas tem trade-off: a eficiência pode mudar; em geral aumenta q_f absoluto.
  • Aumentar o número de aletas (mais superfícies) ou otimizar espaçamento entre aletas para não comprometer h por sombreamento do escoamento.
  • Observação prática: dado que a eficiência calculada é muito baixa, provavelmente é mais eficaz aumentar h (forçar convecção) ou mudar a geometria da aleta (maior perímetro por área, ou aletas em “pás” que aumentem área por volume) do que apenas aumentar muito o comprimento.

Resposta

(a) q_{\text{aleta}}\approx20{,}66\\ \mathrm{W}. Para aumentar a troca de calor: aumentar h (forçar o escoamento), aumentar área superficial (aumentar perímetro/diâmetro ou mudar geometria das aletas), usar material com maior k ou aumentar o número de aletas.
(b) \eta_{\text{aleta}}\approx0{,}0360 (ou 3{,}60\%).

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