O vidro de silício transmite 92 \% da radiação incidente na faixa de comprimentos de onda entre 0,35 e 2,7 \mu \mathrm{~m}, e é opaco nos comprimentos maiores e menores. Estime a porcentagem e a potência de radiação solar que o vidro transmitirá. Admita que o Sol irradie como um corpo negro a 5500 K .
λT, μm ⋅ K
200 0.000000
400 0.000000
600 0.000000
800 0.000016
1000 0.000321
1200 0.002134
1400 0.007790
1600 0.019718
1800 0.039341
2000 0.066728
2200 0.100888
2400 0.140256
2600 0.183120
2800 0.227897
3000 0.273232
3200 0.318102
3400 0.361735
3600 0.403607
3800 0.443382
4000 0.480877
4200 0.516014
4400 0.548796
4600 0.579280
4800 0.607559
5000 0.633747
5200 0.658970
5400 0.680360
5600 0.701046
5800 0.720158
6000 0.737818
6200 0.754140
6400 0.769234
6600 0.783199
6800 0.796129
7000 0.808109
7200 0.819217
7400 0.829527
7600 0.839102
7800 0.848005
8000 0.856288
8500 0.874608
9000 0.890029
9500 0.903085
10,000 0.914199
10,500 0.923710
11,000 0.931890
11,500 0.939959
12,000 0.945098
13,000 0.955139
14,000 0.962898
15,000 0.969981
16,000 0.973814
18,000 0.980860
20,000 0.985602
25,000 0.992215
30,000 0.995340
40,000 0.997967
50,000 0.998953
75,000 0.999713
100,000 0.999905

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Estimar a porcentagem da radiação solar que o vidro transmite.
  • Estimar a potência (por unidade de área) dessa radiação transmitida.
Informações fornecidas:
  • O vidro transmite 92\% da radiação incidente na faixa de comprimentos de onda \,0,35\\ \mu\mathrm{m}\le\lambda\le2,7\\ \mu\mathrm{m}\, e é opaco fora dessa faixa.
  • Admitir que o Sol irradia como corpo negro à temperatura T=5500\\ \mathrm{K}.
  • Foi fornecida uma tabela com valores de \lambda T (em \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}) e a função acumulada f_\lambda correspondente. Vou usar esses valores da tabela para obter as frações de energia emitida abaixo de certos comprimentos de onda.

Passo 2

Entender o que é f_\lambda e como usá-la.
A tabela fornece f_\lambda(\lambda T), que é a fração da potência total emitida por um corpo negro (em todas as direções e por unidade de área) com comprimentos de onda menores que \lambda. Em outras palavras, para um corpo negro à temperatura T,
f_\lambda(\lambda T)=\frac{\displaystyle\int_{0}^{\lambda} I_\lambda(\lambda',T)\,d\lambda'}{\displaystyle\int_{0}^{\infty} I_\lambda(\lambda',T)\,d\lambda'},
onde I_\lambda é a distribuição espectral de Planck em função de \lambda. Assim, a fração da potência emitida entre dois comprimentos de onda \lambda_1 e \lambda_2 é
\Delta f = f_\lambda(\lambda_2 T)-f_\lambda(\lambda_1 T).

Passo 3

Calcular os produtos \lambda T para os limites da faixa que o vidro deixa passar.
  • Para \lambda_1=0,35\\ \mu\mathrm{m}:
\lambda_1 T = 0{,}35\times 5500 = 1925\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Para \lambda_2=2{,}7\\ \mu\mathrm{m}:
\lambda_2 T = 2{,}7\times 5500 = 14850\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.

Passo 4

Obter os valores de f_\lambda correspondentes usando a tabela (peguei os valores da tabela fornecida). Como os \lambda T calculados não caem exatamente nos pontos da tabela, faço interpolação linear simples entre os pontos mais próximos.
Para \lambda_1 T=1925\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K} os pontos da tabela mais próximos são:
  • \lambda T=1800 com f_\lambda=0{,}039341,
  • \lambda T=2000 com f_\lambda=0{,}066728.
Interpolação linear:
f_1 \approx f(1800) + \frac{1925-1800}{200}\bigl(f(2000)-f(1800)\bigr).
Substituindo números:
f_1 \approx 0{,}039341 + \frac{125}{200}\bigl(0{,}066728-0{,}039341\bigr) =0{,}039341 + 0{,}625\cdot 0{,}027387 \approx 0{,}056458.

Passo 5

Para \lambda_2 T=14850\\ \mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{K} os pontos da tabela mais próximos são:
  • \lambda T=14000 com f_\lambda=0{,}962898,
  • \lambda T=15000 com f_\lambda=0{,}969981.
Interpolação linear:
f_2 \approx f(14000) + \frac{14850-14000}{1000}\bigl(f(15000)-f(14000)\bigr).
Substituindo:
f_2 \approx 0{,}962898 + \frac{850}{1000}\cdot(0{,}969981-0{,}962898) =0{,}962898 + 0{,}85\cdot 0{,}007083 \approx 0{,}968919.

Passo 6

Calcular a fração da radiação solar (como corpo negro a 5500\\ \mathrm{K}) que cai dentro da faixa [0{,}35,\,2{,}7]\\ \mu\mathrm{m}:
\Delta f = f_2-f_1 \approx 0{,}968919-0{,}056458 = 0{,}912461.
Em porcentagem isso é aproximadamente 91{,}246\% da radiação total do corpo negro.
Agora o vidro transmite 92\% dessa faixa, então a fração total da radiação solar que atravessa o vidro é
F_{\text{trans}} = 0{,}92\cdot \Delta f \approx 0{,}92\cdot 0{,}912461 \approx 0{,}839478.
Em porcentagem: aproximadamente 83{,}9478\%, ou seja, cerca de 83{,}95\% da radiação total do Sol.

Passo 7

Calcular a potência transmitida por unidade de área. Vou assumir a constante solar (irradiância solar fora da atmosfera terrestre, em boa aproximação da potência incidente por metro quadrado normal ao Sol) igual a
S_0 \approx 1360\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
(Se preferir outro valor da constante solar, basta multiplicar por esse valor.)
A potência transmitida por metro quadrado é então
P_{\text{trans}} = F_{\text{trans}}\; S_0 \approx 0{,}839478 \times 1360\\ \mathrm{W\,m^{-2}} \approx 1141{,}7\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando sensivelmente, P_{\text{trans}}\approx 1{,}14\times 10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Resposta

83{,}95\%
1{,}14\times 10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (assumindo constante solar 1360\\ \mathrm{W\,m^{-2}}).

Exercícios relacionados