19- Três sócios formaram uma sociedade com o capital de \mathrm{R} \ 3.000,00 . Sabe-se que o primeiro recebeu\mathrm{R} $150,00 de lucro; o segundo,\mathrm{R} $ 200,00 e o terceiro,\mathrm{R} $250,00$. Calcular o capital de cada um.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O capital total da sociedade é \text{R\$ }3.000,00.
  • Os lucros recebidos por cada sócio foram: primeiro \text{R\$}150,00; segundo \text{R\$ }200,00; terceiro \text{R\$ }250,00.
    O que a questão pede:
  • Calcular o capital de cada um dos três sócios, ou seja, quanto cada sócio investiu para que a divisão dos lucros tivesse aqueles valores.

Passo 2

Entendimento do princípio que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
Quando os sócios dividem lucro proporcionalmente ao capital investido (pressuposto padrão em problemas assim), a razão entre os capitais é a mesma razão entre os lucros. Isso significa que se C_1,C_2,C_3 são os capitais dos sócios 1, 2 e 3 e L_1,L_2,L_3 são os lucros recebidos por eles, então vale
C_1 : C_2 : C_3 = L_1 : L_2 : L_3.
Aqui temos L_1=\text{R\$}150,00, L_2=\text{R\$ }200,00 e L_3=\text{R\$ }250,00. Portanto os capitais estão em proporção
C_1 : C_2 : C_3 = 150 : 200 : 250.
Vou transformar essa proporção em números mais simples para facilitar as contas.

Passo 3

Simplificar a razão 150:200:250.
Observa-se que todos os três números são múltiplos de 50. Dividindo cada termo por 50 obtemos a razão reduzida:
\frac{150}{50} : \frac{200}{50} : \frac{250}{50} = 3 : 4 : 5.
Ou seja, os capitais têm a razão 3:4:5.

Passo 4

Expressar os capitais em função de uma unidade comum k.
Se a razão é 3:4:5, então podemos escrever
C_1 = 3k,\qquad C_2 = 4k,\qquad C_3 = 5k,
onde k é um número positivo que representa a “unidade” dessa proporção. Agora usamos a informação do capital total para encontrar k.

Passo 5

Usar a soma dos capitais igual ao capital total e resolver para k.
A soma dos capitais é
C_1 + C_2 + C_3 = 3k + 4k + 5k = 12k.
Sabendo que a soma deve ser \text{R\$ }3.000,00, temos
12k = \text{R\$ }3.000,00.
Logo
k = \frac{\text{R\$ }3.000,00}{12}.
Fazendo a divisão de forma simples: \dfrac{3.000,00}{12}=250. Assim
k=\text{R\$ }250,00.

Passo 6

Encontrar os capitais individuais substituindo k.
Calculando cada capital:
C_1 = 3k = 3\cdot\text{R\$}250,00 = \text{R\$ }750,00,
C_2 = 4k = 4\cdot\text{R\$}250,00 = \text{R\$ }1.000,00,
C_3 = 5k = 5\cdot\text{R\$}250,00 = \text{R\$ }1.250,00.

Passo 7

Verificação rápida (servindo também como outro método didático).
A soma \text{R\$}750,00+\text{R\$ }1.000,00+\text{R\$}1.250,00=\text{R\$ }3.000,00, confere com o capital total. Alternativamente, pode-se repartir o capital proporcionalmente aos lucros: primeiro recebe 150/(150+200+250)=150/600=1/4 do capital, logo 3.000\cdot\frac{1}{4}=\text{R\$}750,00; o segundo 200/600=1/3 do capital, logo 3.000\cdot\frac{1}{3}=\text{R\$ }1.000,00; o terceiro 250/600=5/12 do capital, logo 3.000\cdot\frac{5}{12}=\text{R\$ }1.250,00. Ambos os caminhos dão os mesmos resultados.

Resposta

\text{R\$ }750,00
\text{R\$ }1.000,00
\text{R\$ }1.250,00

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