19- Três sócios formaram uma sociedade com o capital de
3.000,00
\mathrm{R} $150,00
\mathrm{R} $ 200,00
\mathrm{R} $250,00$. Calcular o capital de cada um.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O capital total da sociedade é
. - Os lucros recebidos por cada sócio foram: primeiro
; segundo ; terceiro .
O que a questão pede: - Calcular o capital de cada um dos três sócios, ou seja, quanto cada sócio investiu para que a divisão dos lucros tivesse aqueles valores.
Passo 2
Entendimento do princípio que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
Quando os sócios dividem lucro proporcionalmente ao capital investido (pressuposto padrão em problemas assim), a razão entre os capitais é a mesma razão entre os lucros. Isso significa que se são os capitais dos sócios 1, 2 e 3 e
são os lucros recebidos por eles, então vale
Quando os sócios dividem lucro proporcionalmente ao capital investido (pressuposto padrão em problemas assim), a razão entre os capitais é a mesma razão entre os lucros. Isso significa que se
Aqui temos
,
e
. Portanto os capitais estão em proporção
Vou transformar essa proporção em números mais simples para facilitar as contas.
Passo 3
Simplificar a razão
.
Observa-se que todos os três números são múltiplos de . Dividindo cada termo por
obtemos a razão reduzida:
Observa-se que todos os três números são múltiplos de
Ou seja, os capitais têm a razão
.
Passo 4
Expressar os capitais em função de uma unidade comum
.
Se a razão é , então podemos escrever
Se a razão é
onde
é um número positivo que representa a “unidade” dessa proporção. Agora usamos a informação do capital total para encontrar
.
Passo 5
Usar a soma dos capitais igual ao capital total e resolver para
.
A soma dos capitais é
A soma dos capitais é
Sabendo que a soma deve ser
, temos
Logo
Fazendo a divisão de forma simples:
. Assim
Passo 6
Encontrar os capitais individuais substituindo
.
Calculando cada capital:
Calculando cada capital:
Passo 7
Verificação rápida (servindo também como outro método didático).
A soma , confere com o capital total. Alternativamente, pode-se repartir o capital proporcionalmente aos lucros: primeiro recebe
do capital, logo
; o segundo
do capital, logo
; o terceiro
do capital, logo
. Ambos os caminhos dão os mesmos resultados.
A soma