19 (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: um polígono regular possui exatamente
diagonais. - Pedido: determinar quantos lados esse polígono tem (escolher entre as alternativas dadas).
Passo 2
Vamos definir uma variável para trabalhar com calma: seja
o número de lados (ou vértices) do polígono. Precisamos relacionar
com o número de diagonais
.
Explicação didática da fórmula dos diagonais:
- Cada vértice pode ser unido por um segmento a todos os outros
vértices. Dessas conexões, duas são os lados (vértices adjacentes) e uma é consigo mesmo, então os segmentos que saem de um vértice e que são diagonais são exatamente . - Se somássemos
para cada um dos vértices obteríamos , mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Por isso devemos dividir por 2. - Logo a fórmula é
onde
é o número de diagonais e
é o número de lados.
Passo 3
Agora substituímos o valor dado de
na fórmula. Como o enunciado diz que há
diagonais, temos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Desenvolvemos a expressão à esquerda para obter uma equação quadrática:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática. Calculamos o discriminante
:
A raiz quadrada de
é
. Assim as raízes são
Isso dá duas soluções:
Passo 7
Interpretando as soluções:
é número de lados de um polígono, logo precisa ser um inteiro positivo e pelo menos
. Daí descartamos
e ficamos com
. Verificação rápida:
que coincide com o enunciado.
Resposta
c) 10 lados.