19 (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: um polígono regular possui exatamente 35 diagonais.
  • Pedido: determinar quantos lados esse polígono tem (escolher entre as alternativas dadas).

Passo 2

Vamos definir uma variável para trabalhar com calma: seja n o número de lados (ou vértices) do polígono. Precisamos relacionar n com o número de diagonais D.
Explicação didática da fórmula dos diagonais:
  • Cada vértice pode ser unido por um segmento a todos os outros n-1 vértices. Dessas conexões, duas são os lados (vértices adjacentes) e uma é consigo mesmo, então os segmentos que saem de um vértice e que são diagonais são exatamente n-3.
  • Se somássemos n-3 para cada um dos n vértices obteríamos n(n-3), mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Por isso devemos dividir por 2.
  • Logo a fórmula é
D = \frac{n(n-3)}{2},
onde D é o número de diagonais e n é o número de lados.

Passo 3

Agora substituímos o valor dado de D na fórmula. Como o enunciado diz que há 35 diagonais, temos
\frac{n(n-3)}{2} = 35.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-3) = 70.

Passo 5

Desenvolvemos a expressão à esquerda para obter uma equação quadrática:
n^2 - 3n - 70 = 0.

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática. Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{289} = 17. Assim as raízes são
n = \frac{3 \pm 17}{2}.
Isso dá duas soluções:
n_1 = \frac{3+17}{2} = \frac{20}{2} = 10,
n_2 = \frac{3-17}{2} = \frac{-14}{2} = -7.

Passo 7

Interpretando as soluções: n é número de lados de um polígono, logo precisa ser um inteiro positivo e pelo menos 3. Daí descartamos n=-7 e ficamos com n=10. Verificação rápida:
\frac{10(10-3)}{2} = \frac{10\cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35,
que coincide com o enunciado.

Resposta

c) 10 lados.

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