13 (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem
cada um e os demais ângulos internos medem
cada um. O número de lados do polígono é
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta isso:
- Informações: dois ângulos internos do polígono medem
cada um; os demais ângulos internos medem cada um. - Pergunta: qual é o número de lados do polígono? Denotaremos esse número por
.
Passo 2
Vamos usar uma fórmula importante sobre polígonos: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
lados é
Explicando por que: pegue um vértice do polígono e desenhe diagonais para todos os outros vértices não adjacentes. Isso divide o polígono em
triângulos. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. Somando os ângulos dos
triângulos obtemos a soma de todos os ângulos internos do polígono, ou seja,
.
Passo 3
Agora escrevemos a soma dos ângulos internos usando os valores dados: há dois ângulos de
e os outros
ângulos são de
. Portanto a soma é
Passo 4
Igualamos essa soma à fórmula geral da soma de ângulos:
Passo 5
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro calculamos os produtos e expandimos:
Substituindo:
Simplificando os termos constantes no lado esquerdo:
Passo 6
Isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Somando
a ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 7
Verificação rápida: com
temos
ângulos de
. Soma dos ângulos:
E
. Bate certinho, e
é aceitável (inteiro e maior que 2).
Resposta
(b)