13 (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130^{\circ} cada um e os demais ângulos internos medem 128^{\circ} cada um. O número de lados do polígono é
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta isso:
  • Informações: dois ângulos internos do polígono medem 130^\circ cada um; os demais ângulos internos medem 128^\circ cada um.
  • Pergunta: qual é o número de lados do polígono? Denotaremos esse número por n.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula importante sobre polígonos: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é
(n-2)\cdot 180^\circ.
Explicando por que: pegue um vértice do polígono e desenhe diagonais para todos os outros vértices não adjacentes. Isso divide o polígono em n-2 triângulos. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Somando os ângulos dos n-2 triângulos obtemos a soma de todos os ângulos internos do polígono, ou seja, (n-2)\cdot 180^\circ.

Passo 3

Agora escrevemos a soma dos ângulos internos usando os valores dados: há dois ângulos de 130^\circ e os outros n-2 ângulos são de 128^\circ. Portanto a soma é
2\cdot 130^\circ + (n-2)\cdot 128^\circ.

Passo 4

Igualamos essa soma à fórmula geral da soma de ângulos:
2\cdot 130^\circ + (n-2)\cdot 128^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ.

Passo 5

Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro calculamos os produtos e expandimos:
2\cdot 130^\circ = 260^\circ,
(n-2)\cdot 128^\circ = 128n^\circ - 256^\circ,
(n-2)\cdot 180^\circ = 180n^\circ - 360^\circ.
Substituindo:
260^\circ + 128n^\circ - 256^\circ = 180n^\circ - 360^\circ.
Simplificando os termos constantes no lado esquerdo:
128n^\circ + 4^\circ = 180n^\circ - 360^\circ.

Passo 6

Isolamos n. Subtraindo 128n^\circ de ambos os lados:
4^\circ = 52n^\circ - 360^\circ.
Somando 360^\circ a ambos os lados:
364^\circ = 52n^\circ.
Dividindo ambos os lados por 52:
n = \frac{364}{52}.
Simplificando a fração dividindo por 4:
n = \frac{91}{13} = 7.

Passo 7

Verificação rápida: com n=7 temos n-2=5 ângulos de 128^\circ. Soma dos ângulos:
2\cdot 130^\circ + 5\cdot 128^\circ = 260^\circ + 640^\circ = 900^\circ.
E (n-2)\cdot 180^\circ = 5\cdot 180^\circ = 900^\circ. Bate certinho, e n=7 é aceitável (inteiro e maior que 2).

Resposta

(b) 7

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