21 O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Qual é esse polígono.
Passo 1
O enunciado diz: o ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Pergunta: qual é esse polígono?
Informações dadas:
Informações dadas:
- O polígono é regular (todos os ângulos externos são iguais e todos os lados iguais).
- Denotaremos o ângulo externo por
e o ângulo interno por . - A condição do enunciado é
.
Objetivo: encontrar o número de ladosdo polígono regular que satisfaz essa condição (ou seja, determinar qual polígono é).
Passo 2
Entendendo o que é ângulo externo e como calculá‑lo num polígono regular.
- O ângulo externo em um vértice é o ângulo de “rotação” ao percorrer a borda do polígono; a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo vale
. - Como o polígono é regular, todos os ângulos externos têm o mesmo valor
. Logo, se o polígono tem lados, vale:
- Daí obtemos a fórmula útil para um polígono regular:
Expliquei isso porque, na prova, essa é a maneira direta de relacionar o ângulo externo com o número de lados.
Passo 3
Relação entre ângulo interno e externo (é importante saber isto):
- Em cada vértice, o ângulo interno
e o ângulo externo são suplementares (formam uma linha): isto é,
- O enunciado dá ainda
. Vou usar essas duas relações juntas para achar .
Passo 4
Usando
e
:
Substituindo na soma,
Substituindo
Isso dá
Dividindo por
,
Ou seja, cada ângulo externo vale
. Bonito e simples — quando algo é múltiplo assim, dá para resolver rápido.
Passo 5
Agora usamos a fórmula do Passo 2 para achar o número de lados
. Como
, temos:
Resolvendo para
,
Portanto o polígono tem
lados.
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar seguro e aprender um truque útil na prova):
- O ângulo interno calculado a partir de
é
- Confere com a fórmula de ângulo interno de um polígono regular:
Tudo bate: interior
, externo
, interior é realmente o triplo do externo.
Resposta
Octógono regular (
lados)