21 O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Qual é esse polígono.

Passo 1

O enunciado diz: o ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Pergunta: qual é esse polígono?
Informações dadas:
  • O polígono é regular (todos os ângulos externos são iguais e todos os lados iguais).
  • Denotaremos o ângulo externo por \varepsilon e o ângulo interno por I.
  • A condição do enunciado é I = 3\varepsilon.
    Objetivo: encontrar o número de lados n do polígono regular que satisfaz essa condição (ou seja, determinar qual polígono é).

Passo 2

Entendendo o que é ângulo externo e como calculá‑lo num polígono regular.
  • O ângulo externo em um vértice é o ângulo de “rotação” ao percorrer a borda do polígono; a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo vale 360^\circ.
  • Como o polígono é regular, todos os ângulos externos têm o mesmo valor \varepsilon. Logo, se o polígono tem n lados, vale:
n\varepsilon = 360^\circ.
  • Daí obtemos a fórmula útil para um polígono regular:
\varepsilon = \frac{360^\circ}{n}.
Expliquei isso porque, na prova, essa é a maneira direta de relacionar o ângulo externo com o número de lados.

Passo 3

Relação entre ângulo interno e externo (é importante saber isto):
  • Em cada vértice, o ângulo interno I e o ângulo externo \varepsilon são suplementares (formam uma linha): isto é,
I + \varepsilon = 180^\circ.
  • O enunciado dá ainda I = 3\varepsilon. Vou usar essas duas relações juntas para achar \varepsilon.

Passo 4

Usando I = 3\varepsilon e I + \varepsilon = 180^\circ:
Substituindo I na soma,
3\varepsilon + \varepsilon = 180^\circ.
Isso dá
4\varepsilon = 180^\circ.
Dividindo por 4,
\varepsilon = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ.
Ou seja, cada ângulo externo vale \,45^\circ. Bonito e simples — quando algo é múltiplo assim, dá para resolver rápido.

Passo 5

Agora usamos a fórmula do Passo 2 para achar o número de lados n. Como \varepsilon = \dfrac{360^\circ}{n}, temos:
\frac{360^\circ}{n} = 45^\circ.
Resolvendo para n,
n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8.
Portanto o polígono tem \,8 lados.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro e aprender um truque útil na prova):
  • O ângulo interno calculado a partir de \varepsilon é
I = 180^\circ - \varepsilon = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
  • Confere com a fórmula de ângulo interno de um polígono regular:
I = \frac{(n-2)\,180^\circ}{n} = \frac{(8-2)\,180^\circ}{8} = \frac{6\cdot180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ.
Tudo bate: interior \,135^\circ, externo \,45^\circ, interior é realmente o triplo do externo.

Resposta

Octógono regular ( 8 lados)

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