19 (UFV) A área máxima de um retângulo que tem 24 m de perímetro é:
a) 35 \mathrm{~m}^{2}
b) 27 \mathrm{~m}^{2}
c) 49 \mathrm{~m}^{2}
d) 32 \mathrm{~m}^{2}
e) 36 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Um retângulo tem perímetro igual a \,24\\ \mathrm{m}\,.
  • Queremos a área máxima possível desse retângulo e, com isso, identificar a alternativa correta dentre as opções dadas.
Informações relevantes que usaremos (retiradas do enunciado):
  • Perímetro P=24\\ \mathrm{m}.
  • O retângulo tem dois lados que chamaremos de comprimento e largura (duas variáveis que vamos definir no próximo passo).

Passo 2

Definir as variáveis e relacioná‑las com o perímetro:
  • Seja \,x\\ \mathrm{(m)} um lado do retângulo.
  • Seja \,y\\ \mathrm{(m)} o outro lado do retângulo.
    O perímetro de um retângulo é a soma de todos os lados, logo:
2(x+y)=24.
Isolando \,y:
y=12-x.
Observação importante: como \,x e \,y são comprimentos positivos, temos 0<x<12.

Passo 3

Expressar a área em função de uma única variável:
  • A área A do retângulo é o produto dos lados:
A(x)=x\cdot y.
Substituindo \,y=12-x:
A(x)=x(12-x)=12x-x^{2}.
Explicação didática: obtivemos uma função quadrática de \,x. Ela tem a forma padrão \,A(x)=ax^{2}+bx+c com a=-1, b=12 e c=0. Como a<0, a parábola está virada para baixo, então existe um máximo global (o vértice da parábola).

Passo 4

Encontrar o valor de \,x que maximiza A(x) usando a fórmula do vértice da parábola:
  • Para uma quadrática \,ax^{2}+bx+c, o x do vértice é
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=12. Substituindo:
x_{\text{v}}=-\frac{12}{2(-1)}=-\frac{12}{-2}=6.
Portanto o lado que escolhemos como \,x tem valor \,6\\ \mathrm{m}. Usando \,y=12-x:
y=12-6=6\\ \mathrm{m}.
Comentário amigável: isso mostra que, para perímetro fixo, o retângulo que maximiza a área é um quadrado (os dois lados iguais).

Passo 5

Calcular a área máxima substituindo \,x=6 em A(x):
A_{\max}=A(6)=6\cdot6=36\\ \mathrm{m}^{2}.
Verificação rápida da natureza do extremo (opcional): a segunda derivada de A(x) é A''(x)=-2<0, então realmente é um máximo.

Passo 6

Métodos alternativos (úteis para a prova) — explicados passo a passo, sem cálculo pesado:
  1. Completando o quadrado (sem derivada):
A(x)=12x-x^{2}=-(x^{2}-12x)=-(x^{2}-12x+36)+36=-(x-6)^{2}+36.
Da expressão -(x-6)^{2}+36 fica claro que o máximo é 36, atingido quando (x-6)^{2}=0, isto é, x=6.
  1. Desigualdade AM–GM (ferramenta simples e poderosa):
    A média aritmética de x e y é maior ou igual à média geométrica:
\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}.
Elevando ao quadrado:
\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}\ge xy.
Como x+y=12, obtemos
xy\le\left(\frac{12}{2}\right)^{2}=6^{2}=36,
com igualdade quando x=y=6. Logo novamente A_{\max}=36\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Conclusão final e motivação:
  • Encontramos que a área máxima possível é \,36\\ \mathrm{m}^{2}, obtida quando o retângulo é um quadrado de lados \,6\\ \mathrm{m}.
  • Entre as alternativas dadas, a que corresponde a isso é a alternativa correta.

Resposta

e) 36\\ \mathrm{m}^{2}

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