19 (UFV) A área máxima de um retângulo que tem 24 m de perímetro é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Um retângulo tem perímetro igual a
. - Queremos a área máxima possível desse retângulo e, com isso, identificar a alternativa correta dentre as opções dadas.
Informações relevantes que usaremos (retiradas do enunciado):
- Perímetro
. - O retângulo tem dois lados que chamaremos de comprimento e largura (duas variáveis que vamos definir no próximo passo).
Passo 2
Definir as variáveis e relacioná‑las com o perímetro:
- Seja
um lado do retângulo. - Seja
o outro lado do retângulo.
O perímetro de um retângulo é a soma de todos os lados, logo:
Isolando
:
Observação importante: como
e
são comprimentos positivos, temos
.
Passo 3
Expressar a área em função de uma única variável:
- A área
do retângulo é o produto dos lados:
Substituindo
:
Explicação didática: obtivemos uma função quadrática de
. Ela tem a forma padrão
com
,
e
. Como
, a parábola está virada para baixo, então existe um máximo global (o vértice da parábola).
Passo 4
Encontrar o valor de
que maximiza
usando a fórmula do vértice da parábola:
- Para uma quadrática
, o do vértice é
Aqui
e
. Substituindo:
Portanto o lado que escolhemos como
tem valor
. Usando
:
Comentário amigável: isso mostra que, para perímetro fixo, o retângulo que maximiza a área é um quadrado (os dois lados iguais).
Passo 5
Calcular a área máxima substituindo
em
:
Verificação rápida da natureza do extremo (opcional): a segunda derivada de
é
, então realmente é um máximo.
Passo 6
Métodos alternativos (úteis para a prova) — explicados passo a passo, sem cálculo pesado:
- Completando o quadrado (sem derivada):
Da expressão
fica claro que o máximo é
, atingido quando
, isto é,
.
- Desigualdade AM–GM (ferramenta simples e poderosa):
A média aritmética dee é maior ou igual à média geométrica:
Elevando ao quadrado:
Como
, obtemos
com igualdade quando
. Logo novamente
.
Passo 7
Conclusão final e motivação:
- Encontramos que a área máxima possível é
, obtida quando o retângulo é um quadrado de lados . - Entre as alternativas dadas, a que corresponde a isso é a alternativa correta.
Resposta
e)