18 (UPE) Em torno de um canteiro retangular de 12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima dessa calçada, se o material disponível só é suficiente para cimentar uma área de
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um canteiro retangular com comprimento
e largura
. Em volta dele será construída uma calçada de largura uniforme (igual em todos os lados). O material disponível permite cimentar uma área de
.
Pergunta: qual deve ser a largura máxima dessa calçada?
Pergunta: qual deve ser a largura máxima dessa calçada?
Informações relevantes:
- comprimento interno do canteiro:
; - largura interna do canteiro:
; - área disponível para a calçada:
; - a calçada envolve o canteiro por todos os lados com largura uniforme (chamaremos essa largura de
).
Passo 2
Definimos a variável que vamos encontrar:
= largura da calçada (em
).
Quando se coloca uma faixa de largura ao redor de um retângulo, as dimensões externas (do retângulo formado pelo canteiro + calçada) aumentam de
em cada direção (porque há calçada dos dois lados em cada dimensão). Assim:
Quando se coloca uma faixa de largura
- comprimento externo =
, - largura externa =
.
Passo 3
A área da calçada é a diferença entre a área do retângulo externo e a área do canteiro interno. Portanto a equação que descreve o problema é
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação passo a passo. Primeiro multiplicamos os fatores:
Calculando cada termo:
Somando:
Substituindo na equação da área:
ou seja
Passando tudo para um lado:
Passo 5
Temos uma equação quadrática padrão
com
,
,
. Para resolver usamos a fórmula quadrática:
Calculemos o discriminante:
Observação rápida:
(porque
, mais
, mais
, total
), então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula com a raiz computada:
Duas soluções:
Como largura não pode ser negativa, descartamos
. Portanto a solução física é
.
Passo 7
Interpretação prática: a largura máxima da calçada que pode ser cimentada com área de
é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (b).
Resposta
b)