18 (UPE) Em torno de um canteiro retangular de 12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima dessa calçada, se o material disponível só é suficiente para cimentar uma área de 69 \mathrm{~m}^{2} ?
a) 1,0 \mathrm{~m}
b) 1,5 \mathrm{~m}
c) 2,0 \mathrm{~m}
d) 2,5 \mathrm{~m}
e) 3,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá um canteiro retangular com comprimento 12\\ \text{m} e largura 8\\ \text{m}. Em volta dele será construída uma calçada de largura uniforme (igual em todos os lados). O material disponível permite cimentar uma área de \,69\\ \text{m}^2.
Pergunta: qual deve ser a largura máxima dessa calçada?
Informações relevantes:
  • comprimento interno do canteiro: 12\\ \text{m};
  • largura interna do canteiro: 8\\ \text{m};
  • área disponível para a calçada: 69\\ \text{m}^2;
  • a calçada envolve o canteiro por todos os lados com largura uniforme (chamaremos essa largura de x).

Passo 2

Definimos a variável que vamos encontrar: x = largura da calçada (em \text{m}).
Quando se coloca uma faixa de largura x ao redor de um retângulo, as dimensões externas (do retângulo formado pelo canteiro + calçada) aumentam de 2x em cada direção (porque há calçada dos dois lados em cada dimensão). Assim:
  • comprimento externo = 12 + 2x,
  • largura externa = 8 + 2x.

Passo 3

A área da calçada é a diferença entre a área do retângulo externo e a área do canteiro interno. Portanto a equação que descreve o problema é
(12 + 2x)(8 + 2x) - 12\cdot 8 = 69.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação passo a passo. Primeiro multiplicamos os fatores:
(12 + 2x)(8 + 2x) = 12\cdot 8 + 12\cdot 2x + 2x\cdot 8 + 2x\cdot 2x.
Calculando cada termo:
12\cdot 8 = 96,\quad 12\cdot 2x = 24x,\quad 2x\cdot 8 = 16x,\quad 2x\cdot 2x = 4x^2.
Somando:
(12 + 2x)(8 + 2x) = 4x^2 + 24x + 16x + 96 = 4x^2 + 40x + 96.
Substituindo na equação da área:
4x^2 + 40x + 96 - 96 = 69,
ou seja
4x^2 + 40x = 69.
Passando tudo para um lado:
4x^2 + 40x - 69 = 0.

Passo 5

Temos uma equação quadrática padrão ax^2 + bx + c = 0 com a = 4, b = 40, c = -69. Para resolver usamos a fórmula quadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Calculemos o discriminante:
b^2 - 4ac = 40^2 - 4\cdot 4 \cdot (-69) = 1600 + 1104 = 2704.
Observação rápida: 52^2 = 2704 (porque 50^2=2500, mais 2\cdot50\cdot2=200, mais 2^2=4, total 2704), então \sqrt{2704} = 52.

Passo 6

Aplicando a fórmula com a raiz computada:
x = \frac{-40 \pm 52}{2\cdot 4} = \frac{-40 \pm 52}{8}.
Duas soluções:
x_1 = \frac{-40 + 52}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5\\ \text{m},
x_2 = \frac{-40 - 52}{8} = \frac{-92}{8} = -11,5\\ \text{m}.
Como largura não pode ser negativa, descartamos x_2. Portanto a solução física é x = 1,5\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação prática: a largura máxima da calçada que pode ser cimentada com área de 69\\ \text{m}^2 é 1,5\\ \text{m}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (b).

Resposta

b) 1,5\\ \text{m}

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