Calcule a diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos das variáveis
e
:
O que se pede: calcular a diferencial total
expressa em termos de
e
. Ou seja, encontrar uma expressão do tipo
Passo 2
Lembrete do conceito (curto e direto): se
é uma função de duas variáveis independentes
e
, a diferencial total é dada por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante).
e
representam pequenos incrementos em
e
.
Passo 3
Duas formas práticas para obter as derivadas parciais: (A) expandir a função e derivar termo a termo; (B) usar regra do produto da diferencial. Vou mostrar as duas para você entender bem e escolher a que preferir na prova.
Passo 4
Expandindo
:
Agora derivamos parcialmente termo a termo.
Passo 5
Derivando
em relação a
(com
constante):
-
. -
porque é constante em relação a .
Somando:
Passo 6
Derivando
em relação a
(com
constante):
-
. -
.
Portanto
Passo 7
Verificação rápida usando regra do produto em diferenciais: tome
e
. Então
e
. A diferencial do produto é
Agrupando termos:
o que coincide com o resultado do método A — bom sinal.
Passo 8
Interpretação: para pequenos incrementos
e
, a variação aproximada de
é dada por
Exemplo numérico para fixar: se
,
,
,
então
Serve para você checar mudanças pequenas na prova.