Calcule a diferencial.
z=x(x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos das variáveis x e y:
z = x(x+2y).
O que se pede: calcular a diferencial total dz expressa em termos de dx e dy. Ou seja, encontrar uma expressão do tipo
dz = \text{(coeficiente em }dx)\,dx + \text{(coeficiente em }dy)\,dy.

Passo 2

Lembrete do conceito (curto e direto): se z=z(x,y) é uma função de duas variáveis independentes x e y, a diferencial total é dada por
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y (tratando x como constante). dx e dy representam pequenos incrementos em x e y.

Passo 3

Duas formas práticas para obter as derivadas parciais: (A) expandir a função e derivar termo a termo; (B) usar regra do produto da diferencial. Vou mostrar as duas para você entender bem e escolher a que preferir na prova.

Passo 4

Expandindo z:
z = x(x+2y) = x^2 + 2xy.
Agora derivamos parcialmente termo a termo.

Passo 5

Derivando \;z = x^2 + 2xy\; em relação a x (com y constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y porque 2y é constante em relação a x.
    Somando:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y.

Passo 6

Derivando \;z = x^2 + 2xy\; em relação a y (com x constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = 2x.

Passo 7

Verificação rápida usando regra do produto em diferenciais: tome u=x e v=x+2y. Então du=dx e dv=dx+2dy. A diferencial do produto é
dz = u\,dv + v\,du = x(dx+2dy) + (x+2y)dx.
Agrupando termos:
dz = (x + x + 2y)\,dx + 2x\,dy = (2x+2y)\,dx + 2x\,dy,
o que coincide com o resultado do método A — bom sinal.

Passo 8

Interpretação: para pequenos incrementos dx e dy, a variação aproximada de z é dada por
dz \approx (2x+2y)\,dx + 2x\,dy.
Exemplo numérico para fixar: se x=1, y=2, dx=0{,}01, dy=-0{,}005 então
dz \approx (2\cdot1+2\cdot2)\cdot0{,}01 + 2\cdot1\cdot(-0{,}005) = 6\cdot0{,}01 - 2\cdot0{,}005 = 0{,}06 - 0{,}01 = 0{,}05.
Serve para você checar mudanças pequenas na prova.

Resposta

dz = (2x+2y)\,dx + 2x\,dy

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