3.19 Com que velocidade linear você está se movendo devido à rotação da Terra em torno do eixo? E devido à translação da Terra em torno do Sol? (aproxime a órbita da Terra por um círculo). Em cada um dos dois casos, calcule a sua aceleração centrípeta em
e exprima-a como um percentual da aceleração da gravidade.
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade
.
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas (duas questões distintas) e dá os dados necessários implicitamente. Vou listar claramente o que cada item pede e os dados/assunções que vou usar (não perguntei nada — assumi os valores padrão usados em física básica):
-
Questão 3.19:
- Pergunta A: Qual a velocidade linear (em
) com que você se move devido à rotação da Terra em torno do seu eixo? - Pergunta B: Qual a velocidade linear (em
) com que você se move devido à translação da Terra em torno do Sol (assumindo órbita circular)? - Para cada uma das duas velocidades, calcular também a aceleração centrípeta em
e expressá‑la como um percentual da aceleração da gravidade .
Dados e suposições que vou usar (valores padrão/approx.):- Raio médio da Terra:
. - Período de rotação da Terra (dia solar médio):
. (Se estiver em outra latitude, a velocidade tangencial é menor: multiplicar por ; aqui assumo o equador para a velocidade máxima.) - Raio da órbita da Terra (1 UA):
. - Período de translação (ano):
. - Aceleração da gravidade:
.
- Pergunta A: Qual a velocidade linear (em
-
Questão 3.20:
- Uma ultracentrífuga gira a
. Uma partícula está a do eixo. Calcular a relação entre a aceleração centrípeta desta partícula e (ou seja, ). - Dados:
, , .
- Uma ultracentrífuga gira a
A resolução começa agora, com fórmulas explicadas e contas passo a passo.
Passo 2
Rotação da Terra — fórmulas e significado das variáveis.
-
Fórmulas básicas:
- Velocidade linear (módulo da velocidade tangencial) num movimento circular uniforme:
onde é o raio do círculo (em metros) e é o período (em segundos). - Aceleração centrípeta:
onde é a velocidade angular (rad/s).
- Velocidade linear (módulo da velocidade tangencial) num movimento circular uniforme:
-
Aplicando à rotação da Terra no equador:
-
. -
. - Calcular
.
-
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade e da aceleração centrípeta devida à rotação da Terra (no equador), com contas detalhadas.
-
Velocidade linear:Primeiro calcular o numerador:Agora dividir por
: (Arredondando para valores práticos:.) -
Aceleração centrípeta:Calcular
: Dividindo: -
Percentual em relação a
: Isto significa que a aceleração centrípeta devido à rotação equivale a cerca dede (ou cerca de fração de ).
Passo 4
Translação da Terra ao redor do Sol — fórmulas e aplicações.
- Usamos a mesma fórmula para velocidade em órbita circular:
Variáveis: -
. -
.
-
Calculo passo a passo abaixo.
Passo 5
Cálculo numérico da velocidade e da aceleração centrípeta devida à translação orbital da Terra.
-
Velocidade orbital:Numerador:Dividindo:(Isso é aproximadamente
, valor clássico.) -
Aceleração centrípeta orbital:Calcular
: Dividindo: -
Percentual em relação a
: Ou seja, a aceleração centrípeta da Terra na sua órbita equivale a aproximadamentede .
Passo 6
Interpretação rápida (pra te animar):
- A aceleração centrípeta da rotação terrestre no equador é
, só umas frações de (cerca de ). Por isso nós não “voamos” — é muito maior. - A aceleração centrípeta da órbita em torno do Sol é menor ainda,
(cerca de de ). Mesmo assim essa pequena aceleração, atuando sobre a massa da Terra por longos períodos, mantém a Terra em órbita.
Passo 7
Questão 3.20 — ultracentrífuga: passar de rpm para rad/s, depois calcular
e a razão
.
-
Relação entre rpm e velocidade angular:Dados:
. Logo -
Raio:
. Aceleração centrípeta: Calcular: Multiplicando por: (Também dá para usarcom ; o resultado é o mesmo.) -
Relação com
: Ou seja, a centrífuga gera uma aceleração equivalente a cerca devezes (isto é, aproximadamente ). Em percentagem isso seria , um número enorme — por isso ultracentrífugas esmagam e separam componentes biológicos por densidade.
Passo 8
Resumo didático final (curta recapitulação de como fazer rápido na prova):
- Para qualquer movimento circular: use
e (ou com ). - Converter unidades: hora→segundo (
), rpm→rad/s via . - Para comparar com
, calcule . - Se a pergunta da rotação terrestre não der latitude, use o equador (velocidade máxima); caso contrário multiplique por
.
Resposta
3.19 (rotação terrestre, equador):
,
3.19 (translação orbital): ,
3.20 (ultracentrífuga):
3.19 (translação orbital):
3.20 (ultracentrífuga):