3.19 Com que velocidade linear você está se movendo devido à rotação da Terra em torno do eixo? E devido à translação da Terra em torno do Sol? (aproxime a órbita da Terra por um círculo). Em cada um dos dois casos, calcule a sua aceleração centrípeta em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e exprima-a como um percentual da aceleração da gravidade.
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade g.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas (duas questões distintas) e dá os dados necessários implicitamente. Vou listar claramente o que cada item pede e os dados/assunções que vou usar (não perguntei nada — assumi os valores padrão usados em física básica):
  • Questão 3.19:
    • Pergunta A: Qual a velocidade linear (em \mathrm{m/s}) com que você se move devido à rotação da Terra em torno do seu eixo?
    • Pergunta B: Qual a velocidade linear (em \mathrm{m/s}) com que você se move devido à translação da Terra em torno do Sol (assumindo órbita circular)?
    • Para cada uma das duas velocidades, calcular também a aceleração centrípeta em \mathrm{m/s^{2}} e expressá‑la como um percentual da aceleração da gravidade g.
    Dados e suposições que vou usar (valores padrão/approx.):
    • Raio médio da Terra: R_{\text{Terra}}=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • Período de rotação da Terra (dia solar médio): T_{\text{rot}}=24\\ \mathrm{h}=86400\\ \mathrm{s}. (Se estiver em outra latitude, a velocidade tangencial é menor: multiplicar por \cos\varphi; aqui assumo o equador para a velocidade máxima.)
    • Raio da órbita da Terra (1 UA): R_{\text{orb}}=1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • Período de translação (ano): T_{\text{orb}}=365{,}25\\ \mathrm{dias}=365{,}25\times86400\\ \mathrm{s}=3{,}15576\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Questão 3.20:
    • Uma ultracentrífuga gira a 50{,}000\\ \mathrm{rpm}. Uma partícula está a r=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m} do eixo. Calcular a relação entre a aceleração centrípeta desta partícula e g (ou seja, a_{\text{c}}/g).
    • Dados: \text{rpm}=50{,}000\\ \mathrm{min^{-1}}, r=0{,}20\\ \mathrm{m}, g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A resolução começa agora, com fórmulas explicadas e contas passo a passo.

Passo 2

Rotação da Terra — fórmulas e significado das variáveis.
  • Fórmulas básicas:
    • Velocidade linear (módulo da velocidade tangencial) num movimento circular uniforme: v=\frac{2\pi R}{T}onde R é o raio do círculo (em metros) e T é o período (em segundos).
    • Aceleração centrípeta: a_{\text{c}}=\frac{v^{2}}{R}=\omega^{2}Ronde \omega=\frac{2\pi}{T} é a velocidade angular (rad/s).
  • Aplicando à rotação da Terra no equador:
    • R=R_{\text{Terra}}=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • T=T_{\text{rot}}=86400\\ \mathrm{s}.
    • Calcular v_{\text{rot}}=\dfrac{2\pi R_{\text{Terra}}}{T_{\text{rot}}}.

Passo 3

Cálculo numérico da velocidade e da aceleração centrípeta devida à rotação da Terra (no equador), com contas detalhadas.
  • Velocidade linear:
    v_{\text{rot}}=\frac{2\pi(6{,}37\times10^{6})}{86400}.
    Primeiro calcular o numerador:
    2\pi(6{,}37\times10^{6})\approx6{,}2831853\times6{,}37\times10^{6}\approx4{,}0024\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
    Agora dividir por 86400:
    v_{\text{rot}}\approx\frac{4{,}0024\times10^{7}}{86400}\approx4,638\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}=463{,}8\\ \mathrm{m/s}.
    (Arredondando para valores práticos: v_{\text{rot}}\approx4,64\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.)
  • Aceleração centrípeta:
    a_{\text{rot}}=\frac{v_{\text{rot}}^{2}}{R_{\text{Terra}}}=\frac{(4{,}638\times10^{2})^{2}}{6{,}37\times10^{6}}.
    Calcular v^{2}:
    v_{\text{rot}}^{2}\approx(4{,}638\times10^{2})^{2}\approx2{,}1512\times10^{5}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
    Dividindo:
    a_{\text{rot}}\approx\frac{2{,}1512\times10^{5}}{6{,}37\times10^{6}}\approx3{,}38\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}=0{,}0338\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Percentual em relação a g:
    \frac{a_{\text{rot}}}{g}\times100\%=\frac{0{,}0338}{9{,}80}\times100\%\approx0{,}345\%.
    Isto significa que a aceleração centrípeta devido à rotação equivale a cerca de 0{,}345\% de g (ou cerca de 3{,}45\times10^{-3} fração de g).

Passo 4

Translação da Terra ao redor do Sol — fórmulas e aplicações.
  • Usamos a mesma fórmula para velocidade em órbita circular: v_{\text{orb}}=\frac{2\pi R_{\text{orb}}}{T_{\text{orb}}}.Variáveis:
    • R_{\text{orb}}=1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • T_{\text{orb}}=3{,}15576\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Calculo passo a passo abaixo.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade e da aceleração centrípeta devida à translação orbital da Terra.
  • Velocidade orbital:
    v_{\text{orb}}=\frac{2\pi(1{,}496\times10^{11})}{3{,}15576\times10^{7}}.
    Numerador:
    2\pi(1{,}496\times10^{11})\approx6{,}2831853\times1{,}496\times10^{11}\approx9{,}4018\times10^{11}.
    Dividindo:
    v_{\text{orb}}\approx\frac{9{,}4018\times10^{11}}{3{,}15576\times10^{7}}\approx2{,}980\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}=2,98\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
    (Isso é aproximadamente 29{,}8\\ \mathrm{km/s}, valor clássico.)
  • Aceleração centrípeta orbital:
    a_{\text{orb}}=\frac{v_{\text{orb}}^{2}}{R_{\text{orb}}}=\frac{(2{,}98\times10^{4})^{2}}{1{,}496\times10^{11}}.
    Calcular v^{2}:
    v_{\text{orb}}^{2}\approx8{,}8804\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
    Dividindo:
    a_{\text{orb}}\approx\frac{8{,}8804\times10^{8}}{1{,}496\times10^{11}}\approx5{,}93\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}=0{,}00593\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Percentual em relação a g:
    \frac{a_{\text{orb}}}{g}\times100\%=\frac{0{,}00593}{9{,}80}\times100\%\approx0{,}0606\%.
    Ou seja, a aceleração centrípeta da Terra na sua órbita equivale a aproximadamente 0{,}061\% de g.

Passo 6

Interpretação rápida (pra te animar):
  • A aceleração centrípeta da rotação terrestre no equador é \sim0{,}034\\ \mathrm{m/s^{2}}, só umas frações de g (cerca de 0{,}35\%). Por isso nós não “voamos” — g é muito maior.
  • A aceleração centrípeta da órbita em torno do Sol é menor ainda, \sim0{,}0059\\ \mathrm{m/s^{2}} (cerca de 0{,}061\% de g). Mesmo assim essa pequena aceleração, atuando sobre a massa da Terra por longos períodos, mantém a Terra em órbita.

Passo 7

Questão 3.20 — ultracentrífuga: passar de rpm para rad/s, depois calcular a_{\text{c}} e a razão a_{\text{c}}/g.
  • Relação entre rpm e velocidade angular:
    \omega=2\pi\left(\frac{\text{rpm}}{60}\right).
    Dados: \text{rpm}=50{,}000. Logo
    \omega=2\pi\left(\frac{50{,}000}{60}\right)=2\pi(833{,}333\ldots)\approx6{,}2831853\times833{,}333\approx5{,}235{,}988\\ \mathrm{rad/s}.
  • Raio: r=0{,}20\\ \mathrm{m}. Aceleração centrípeta:
    a_{\text{c}}=\omega^{2}r.
    Calcular \omega^{2}:
    \omega^{2}\approx(5{,}235{,}988)^{2}\approx2{,}7414\times10^{7}\\ \mathrm{rad^{2}/s^{2}}.
    Multiplicando por r:
    a_{\text{c}}\approx2{,}7414\times10^{7}\times0{,}20\approx5{,}4828\times10^{6}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    (Também dá para usar a=v^{2}/r com v=\omega r; o resultado é o mesmo.)
  • Relação com g:
    \frac{a_{\text{c}}}{g}=\frac{5{,}4828\times10^{6}}{9{,}80}\approx5{,}59\times10^{5}.
    Ou seja, a centrífuga gera uma aceleração equivalente a cerca de 5{,}59\times10^{5} vezes g (isto é, aproximadamente 559{,}000\\ g). Em percentagem isso seria 5{,}59\times10^{7}\%, um número enorme — por isso ultracentrífugas esmagam e separam componentes biológicos por densidade.

Passo 8

Resumo didático final (curta recapitulação de como fazer rápido na prova):
  • Para qualquer movimento circular: use v=2\pi R/T e a_{\text{c}}=v^{2}/R (ou a_{\text{c}}=\omega^{2}R com \omega=2\pi/T).
  • Converter unidades: hora→segundo ( 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}), rpm→rad/s via \omega=2\pi(\text{rpm}/60).
  • Para comparar com g, calcule (a_{\text{c}}/g)\times100\%.
  • Se a pergunta da rotação terrestre não der latitude, use o equador (velocidade máxima); caso contrário multiplique por \cos\varphi.

Resposta

3.19 (rotação terrestre, equador): v_{\text{rot}}\approx4{,}64\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}, \;a_{\text{rot}}\approx3{,}38\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\;\approx0{,}345\%\\ g
3.19 (translação orbital): v_{\text{orb}}\approx2{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}, \;a_{\text{orb}}\approx5{,}93\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}\;\approx0{,}061\%\\ g
3.20 (ultracentrífuga): \;a_{\text{c}}\approx5{,}48\times10^{6}\\ \mathrm{m/s^{2}}\;\Rightarrow\;\dfrac{a_{\text{c}}}{g}\approx5{,}59\times10^{5}

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