Qual é a hora entre 9 h e 10 h em que o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o das horas? Depois de meio dia, qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir?
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade g.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada pergunta separada).
  • Primeira pergunta: “Qual é a hora entre 9 h e 10 h em que o ponteiro dos minutos coincide com o das horas?”
    • Dado: queremos um instante entre 9\!:\!00 e 10\!:\!00 em que os ponteiros das horas e dos minutos ocupem a mesma posição.
    • Pedido: o instante (hora, minutos, segundos) em que ocorre essa coincidência.
  • Segunda pergunta: “Depois de meio dia, qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir?”
    • Dado: ponto inicial em 12\!:\!00 (meio dia).
    • Pedido: o menor t>0 (tempo depois de meio dia) em que os três ponteiros (horas, minutos, segundos) estão coincidentes novamente.
  • Terceira pergunta (exercício 3.20): “Numa ultracentrífuga girando a 50\,000 rpm, uma partícula se encontra a 20\\ \text{cm} do eixo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade g.”
    • Dado: rotação 50\,000 rpm (rotações por minuto), raio r=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m}.
    • Pedido: razão \dfrac{a_c}{g}, onde a_c é a aceleração centrípeta.

Passo 2

Resolução da primeira pergunta (entre 9 h e 10 h): montar as posições angulares e igualá-las.
  • Como medir posição dos ponteiros:
    • O ponteiro dos minutos gira 360^\circ em 60 minutos, logo sua velocidade angular é 6^\circ por minuto. Depois de t minutos a partir de 9\!:\!00, a posição angular (medida a partir das 12 horas) do ponteiro dos minutos é
    \theta_m = 6t\quad(\text{graus}).
    • O ponteiro das horas às 9\!:\!00 está em 9\times30^\circ=270^\circ. Ele avança 30^\circ por hora, isto é, 0{,}5^\circ por minuto. Depois de t minutos sua posição é
    \theta_h = 270 + 0{,}5t\quad(\text{graus}).
  • Condição de coincidência (entre 9 e 10 horas, sem “dar a volta”): igualar as duas posições: 6t = 270 + 0{,}5t.
  • Resolver a equação: 6t - 0{,}5t = 270 \quad\Rightarrow\quad 5{,}5t = 270.
t = \dfrac{270}{5{,}5} = \dfrac{540}{11}\\ \text{min}.
  • Interpretar o valor em minutos e segundos:
    • \dfrac{540}{11} = 49 + \dfrac{1}{11} minutos, pois 49\times11=539.
    • A fração \dfrac{1}{11} de minuto em segundos é \dfrac{60}{11} s, isto é aproximadamente 5{,}4545\ldots s (ou exatamente 5\frac{5}{11} s).
  • Conclusão: a coincidência ocorre às 9\\ \text{h}\;49\dfrac{1}{11}\\ \text{min} \quad\text{ou}\quad 9\!:\!49\!:\! \dfrac{60}{11}\\ \text{s}\\ (\approx 9\!:\!49\!:\!5{,}4545\ldots).

Passo 3

Resolução da segunda pergunta (primeira vez, depois de meio dia, em que os três ponteiros coincidem).
  • Vamos escrever as velocidades angulares (em graus por segundo) para os três ponteiros, usando tempo t em segundos após meio dia ( t=0 em 12\!:\!00).
    • Ponteiro das horas: gira 360^\circ em 12 horas =43200 s, logo
    \omega_h = \dfrac{360}{43200} = \dfrac{1}{120}\\ ^\circ\!/\text{s}.
    • Ponteiro dos minutos: gira 360^\circ em 60 minutos =3600 s, logo
    \omega_m = \dfrac{360}{3600} = \dfrac{1}{10}\\ ^\circ\!/\text{s}.
    • Ponteiro dos segundos: gira 360^\circ em 60 s, logo
    \omega_s = \dfrac{360}{60} = 6\\ ^\circ\!/\text{s}.
  • Se todos três coincidem num tempo t>0, então suas posições angulares (módulo 360^\circ) são iguais. Podemos escrever diferenças angulares iguais a múltiplos inteiros de 360^\circ. Por exemplo, exigimos que minuto e segundo tenham ângulos iguais modulo 360^\circ: (\omega_s-\omega_m)t = 360 n,\quad n\in\mathbb{Z}.E também que hora e minuto coincidam modulo 360^\circ: (\omega_m-\omega_h)t = 360 m,\quad m\in\mathbb{Z}.
  • Expressar t a partir de cada equação: t = \dfrac{360 n}{\omega_s-\omega_m} \qquad\text{e}\qquad t = \dfrac{360 m}{\omega_m-\omega_h}.Igualando as duas expressões: \dfrac{n}{\omega_s-\omega_m}=\dfrac{m}{\omega_m-\omega_h} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{n}{m}=\dfrac{\omega_s-\omega_m}{\omega_m-\omega_h}.
  • Calcular a razão à direita: \omega_s-\omega_m = 6 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{59}{10}, \qquad \omega_m-\omega_h = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{120}=\dfrac{11}{120}.
\dfrac{\omega_s-\omega_m}{\omega_m-\omega_h} = \dfrac{59/10}{11/120} = \dfrac{59}{10}\cdot\dfrac{120}{11} = \dfrac{59\cdot12}{11} = \dfrac{708}{11}.
  • Portanto \dfrac{n}{m}=\dfrac{708}{11}. Para n,m inteiros, o menor par positivo que satisfaz isso é n=708 e m=11 (pois 708 e 11 já têm a razão requerida).
  • Usar m=11 na expressão para t: t = \dfrac{360 m}{\omega_m-\omega_h} = \dfrac{360\cdot 11}{11/120} = 360\cdot 120 = 43\,200\\ \text{s}.
43\,200\\ \text{s} = 12\\ \text{h}.
  • Interpretação: o menor t>0 que satisfaz as condições é t=12 horas. Portanto, depois de meio dia, os três ponteiros só voltam a coincidir após 12 horas (isto é, no próximo retorno das 12 horas).

Passo 4

Resolução da terceira pergunta (ultracentrífuga): relação entre aceleração centrípeta e g.
  • Fórmulas e conversões necessárias:
    • A aceleração centrípeta para movimento circular uniforme pode ser escrita como
    a_c = \omega^2 r,onde \omega é a velocidade angular (em \text{rad}/\text{s}) e r é o raio (em metros).
    • Relação entre rotação em rpm e frequência angular:
    \text{rpm} = \text{rotações por minuto} \quad\Rightarrow\quad f = \dfrac{\text{rpm}}{60}\\ \text{(rev/s)}.çõ
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot\dfrac{\text{rpm}}{60}.
  • Aplicar aos dados: \text{rpm}=50\,000, r=0{,}20\\ \text{m}. f = \dfrac{50\,000}{60} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{rev/s}.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot\dfrac{2500}{3} = \dfrac{5000\pi}{3}\\ \text{rad/s}.
  • Calcular a_c em forma exata (algebraicamente) e depois numericamente: a_c = \omega^2 r = \left(\dfrac{5000\pi}{3}\right)^2\cdot 0{,}20 = \dfrac{25\,000\,000\pi^2}{9}\cdot 0{,}20 = \dfrac{5\,000\,000\pi^2}{9}\\ \text{m/s}^2.
  • Agora a razão \dfrac{a_c}{g} (usar g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2; pode usar 9{,}8 se preferir aproximação): \dfrac{a_c}{g} = \dfrac{\dfrac{5\,000\,000\pi^2}{9}}{g} = \dfrac{5\,000\,000\pi^2}{9g}.
  • Valor numérico (com g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e \pi^2\approx 9{,}8696): a_c \approx \dfrac{5\,000\,000\cdot 9{,}8696}{9} \approx 5\,483\,113{,}6\\ \text{m/s}^2.
\dfrac{a_c}{g} \approx \dfrac{5\,483\,113{,}6}{9{,}81} \approx 558\,974 \approx 5{,}59\times 10^{5}.
  • Interpretação: a aceleração centrípeta é da ordem de 5,6\times 10^{5} vezes a aceleração da gravidade, isto é, algumas centenas de milhares de g.

Resposta

9 h 49\dfrac{1}{11} min = 9\!:\!49\!:\!\dfrac{60}{11}\\ \text{s} \approx 9\!:\!49\!:\!5{,}4545\ldots
Os três ponteiros só coincidem novamente após 12 horas (isto é, 12 h depois de meio dia).
\dfrac{a_c}{g}=\dfrac{5\,000\,000\pi^2}{9g}\approx 5{,}59\times10^{5}

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