Qual é a hora entre 9 h e 10 h em que o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o das horas? Depois de meio dia, qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir?
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade
.
3.20 Numa ultracentrífuga girando a 50.000 rpm (rotação por minuto), uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotaçāo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada pergunta separada).
-
Primeira pergunta: “Qual é a hora entre
h e h em que o ponteiro dos minutos coincide com o das horas?” - Dado: queremos um instante entre
e em que os ponteiros das horas e dos minutos ocupem a mesma posição. - Pedido: o instante (hora, minutos, segundos) em que ocorre essa coincidência.
- Dado: queremos um instante entre
-
Segunda pergunta: “Depois de meio dia, qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir?”
- Dado: ponto inicial em
(meio dia). - Pedido: o menor
(tempo depois de meio dia) em que os três ponteiros (horas, minutos, segundos) estão coincidentes novamente.
- Dado: ponto inicial em
-
Terceira pergunta (exercício 3.20): “Numa ultracentrífuga girando a
rpm, uma partícula se encontra a do eixo. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade .” - Dado: rotação
rpm (rotações por minuto), raio . - Pedido: razão
, onde é a aceleração centrípeta.
- Dado: rotação
Passo 2
Resolução da primeira pergunta (entre
h e
h): montar as posições angulares e igualá-las.
- Como medir posição dos ponteiros:
- O ponteiro dos minutos gira
em minutos, logo sua velocidade angular é por minuto. Depois de minutos a partir de , a posição angular (medida a partir das 12 horas) do ponteiro dos minutos é
- O ponteiro das horas às
está em . Ele avança por hora, isto é, por minuto. Depois de minutos sua posição é
- O ponteiro dos minutos gira
- Condição de coincidência (entre 9 e 10 horas, sem “dar a volta”): igualar as duas posições:
- Resolver a equação:
- Interpretar o valor em minutos e segundos:
-
minutos, pois . - A fração
de minuto em segundos é s, isto é aproximadamente s (ou exatamente s).
-
- Conclusão: a coincidência ocorre às
Passo 3
Resolução da segunda pergunta (primeira vez, depois de meio dia, em que os três ponteiros coincidem).
- Vamos escrever as velocidades angulares (em graus por segundo) para os três ponteiros, usando tempo
em segundos após meio dia ( em ). - Ponteiro das horas: gira
em horas s, logo
- Ponteiro dos minutos: gira
em minutos s, logo
- Ponteiro dos segundos: gira
em s, logo
- Ponteiro das horas: gira
- Se todos três coincidem num tempo
, então suas posições angulares (módulo ) são iguais. Podemos escrever diferenças angulares iguais a múltiplos inteiros de . Por exemplo, exigimos que minuto e segundo tenham ângulos iguais modulo : E também que hora e minuto coincidam modulo : - Expressar
a partir de cada equação: Igualando as duas expressões: - Calcular a razão à direita:
- Portanto
. Para inteiros, o menor par positivo que satisfaz isso é e (pois e já têm a razão requerida). - Usar
na expressão para :
- Interpretação: o menor
que satisfaz as condições é horas. Portanto, depois de meio dia, os três ponteiros só voltam a coincidir após horas (isto é, no próximo retorno das 12 horas).
Passo 4
Resolução da terceira pergunta (ultracentrífuga): relação entre aceleração centrípeta e
.
- Fórmulas e conversões necessárias:
- A aceleração centrípeta para movimento circular uniforme pode ser escrita como
onde é a velocidade angular (em ) e é o raio (em metros). - Relação entre rotação em rpm e frequência angular:
- Aplicar aos dados:
, .
- Calcular
em forma exata (algebraicamente) e depois numericamente: - Agora a razão
(usar ; pode usar se preferir aproximação): - Valor numérico (com
e ):
- Interpretação: a aceleração centrípeta é da ordem de
vezes a aceleração da gravidade, isto é, algumas centenas de milhares de .
Resposta
9 h
min
Os três ponteiros só coincidem novamente após
horas (isto é,
h depois de meio dia).