1. Três cargas puntiformes estão fixas no plano cartesiano:
  • q_{1}=+2 q localizada em (0,0)
  • q_{2}=-q localizada em (a, 0)
  • q_{3}=+4 q localizada em (0, a)
    onde q>0 e a>0. Um quarto corpo de prova, de carga Q, é colocado em um ponto P do plano.
    a) Determine a expressão vetorial do campo elétrico resultante no ponto P=(a, a) em função de q, a, e da constante eletrostática k.
    b) Encontre a força elétrica resultante sobre a carga Q colocada em P.
    c) Determine o valor de Q (em termos de q ) para o qual a força resultante sobre a carga em P tem módulo igual a zero. Justifique sua resposta cuidadosamente.

Passo 1

Vou deixar super claro o que o enunciado pede e quais informações temos (tudo que vem do enunciado).
  • Cargas fixas no plano cartesiano:
    • q_{1}=+2q em (0,0).
    • q_{2}=-q em (a,0).
    • q_{3}=+4q em (0,a).
    • Constantes: q>0, a>0, e constante eletrostática k.
  • Ponto de interesse: P=(a,a).
  • A carga de prova colocada em P é Q.
O enunciado pede:
a) A expressão vetorial do campo elétrico resultante em P=(a,a) em função de q, a e k.
b) A força elétrica resultante sobre a carga Q colocada em P.
c) O valor de Q (em termos de q) tal que o módulo da força resultante sobre a carga em P seja igual a zero, com justificativa.

Passo 2

Relembrando a lei que vamos usar (aulas rápidas e diretas): o campo elétrico produzido por uma carga pontual q em um ponto do espaço é dado por Coulomb, na forma vetorial
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,q\,\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde:
  • k é a constante eletrostática (por exemplo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}),
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo,
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor (vetor unitário) apontando da carga até o ponto de interesse,
  • o sinal de q determina a direção: carga positiva gera campo apontando para fora da carga, negativa aponta para a carga.
Para várias cargas puntuais, o princípio da superposição diz que o campo resultante é a soma vetorial dos campos individuais:
\mathbf{E}_{\text{res}}=\sum_{i}\mathbf{E}_{i}.
Vou aplicar isso calculando separadamente o campo de cada carga em P e somando componente a componente.

Passo 3

Calcular o campo em P devido a q_{1}=+2q em (0,0).
  • Vetor posição relativo (da fonte para P): \mathbf{r}_{1\to P} = (a,a)-(0,0) = (a,a).
  • Distância: r_{1} = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}.
  • Versor: \hat{\mathbf{r}}_{1}=\frac{(a,a)}{a\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Módulo do campo: |\mathbf{E}_{1}| = k\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}} = k\frac{2q}{(a\sqrt{2})^{2}} = k\frac{2q}{2a^{2}} = k\frac{q}{a^{2}}.
  • Componentes (multiplicando o módulo pelo versor): \mathbf{E}_{1} = k\frac{q}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathbf{i}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathbf{j}}\right) = \frac{kq}{a^{2}\sqrt{2}}\hat{\mathbf{i}}+\frac{kq}{a^{2}\sqrt{2}}\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Calcular o campo em P devido a q_{2}=-q em (a,0).
  • Vetor posição relativo: \mathbf{r}_{2\to P} = (a,a)-(a,0)=(0,a).
  • Distância: r_{2}= \sqrt{0^{2}+a^{2}} = a.
  • Versor: \hat{\mathbf{r}}_{2} = (0,1)=\hat{\mathbf{j}}.
  • Módulo do campo: |\mathbf{E}_{2}| = k\frac{q_{2}}{r_{2}^{2}} = k\frac{-q}{a^{2}} = -k\frac{q}{a^{2}}.(o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido oposto ao versor \hat{\mathbf{r}}_{2}; neste caso, como q_{2} é negativa, o campo em P aponta no sentido de -\hat{\mathbf{r}}_{2}=-\hat{\mathbf{j}}.)
  • Portanto, em componentes: \mathbf{E}_{2} = 0\cdot\hat{\mathbf{i}} + \left(-k\frac{q}{a^{2}}\right)\hat{\mathbf{j}} = -\frac{kq}{a^{2}}\hat{\mathbf{j}}.

Passo 5

Calcular o campo em P devido a q_{3}=+4q em (0,a).
  • Vetor posição relativo: \mathbf{r}_{3\to P} = (a,a)-(0,a)=(a,0).
  • Distância: r_{3}= \sqrt{a^{2}+0^{2}} = a.
  • Versor: \hat{\mathbf{r}}_{3} = (1,0)=\hat{\mathbf{i}}.
  • Módulo do campo: |\mathbf{E}_{3}| = k\frac{q_{3}}{r_{3}^{2}} = k\frac{4q}{a^{2}} = \frac{4kq}{a^{2}}.
  • Em componentes: \mathbf{E}_{3} = \frac{4kq}{a^{2}}\hat{\mathbf{i}} + 0\cdot\hat{\mathbf{j}} = \frac{4kq}{a^{2}}\hat{\mathbf{i}}.

Passo 6

Somar vetorialmente as componentes x e y dos campos \mathbf{E}_{1},\mathbf{E}_{2},\mathbf{E}_{3}.
  • Componente x: E_{x} = \frac{kq}{a^{2}\sqrt{2}} + 0 + \frac{4kq}{a^{2}} = \frac{kq}{a^{2}}\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Componente y: E_{y} = \frac{kq}{a^{2}\sqrt{2}} + \left(-\frac{kq}{a^{2}}\right) + 0 = \frac{kq}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right).
  • Assim, o campo resultante em P é \mathbf{E}_{\text{res}}(a,a) = \frac{kq}{a^{2}}\left(\,4+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\right)\hat{\mathbf{i}} +\frac{kq}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\hat{\mathbf{j}}.
Vou fazer uma observação didática rápida: os coeficientes dentro dos parênteses são números puros, positivos para x (pois 4+\tfrac{1}{\sqrt{2}}>0) e negativos para y (pois \tfrac{1}{\sqrt{2}}-1<0), então o campo aponta para a direita e um pouco para baixo.

Passo 7

Encontrar a força elétrica sobre a carga Q colocada em P.
  • Lei: a força elétrica é \mathbf{F}=Q\,\mathbf{E}_{\text{res}}.
  • Multiplicando componente a componente: \mathbf{F} = Q\,\frac{kq}{a^{2}}\left(\,4+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\right)\hat{\mathbf{i}} + Q\,\frac{kq}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\hat{\mathbf{j}}.
  • Pode escrever de forma compacta: \mathbf{F}(a,a) = \frac{kqQ}{a^{2}}\Bigg[\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\hat{\mathbf{j}}\Bigg].

Passo 8

Determinar Q tal que o módulo da força resultante sobre a carga em P seja igual a zero.
  • Observação conceitual: o módulo da força é zero se, e somente se, o vetor força é o vetor nulo. Pela expressão \mathbf{F}=Q\mathbf{E}_{\text{res}}, temos duas possibilidades para \mathbf{F}=\mathbf{0}:
    1. Q=0.
    2. \mathbf{E}_{\text{res}}=\mathbf{0} (campo nulo no ponto P, então qualquer Q daria força nula).
  • Verificar se \mathbf{E}_{\text{res}}=\mathbf{0} é possível com os dados: olhando para as componentes que calculamos, E_{x}=\frac{kq}{a^{2}}\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad E_{y}=\frac{kq}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right).Como k>0, q>0 e a^{2}>0, o fator \dfrac{kq}{a^{2}} é positivo e não nulo. O número 4+\dfrac{1}{\sqrt{2}} é claramente positivo, logo E_{x}>0. O número \dfrac{1}{\sqrt{2}}-1 é negativo (pois \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0,707<1), logo E_{y}<0. Portanto ambas as componentes são diferentes de zero; em particular \mathbf{E}_{\text{res}}\neq\mathbf{0}.
  • Conclusão: não existe Q\neq 0 que anule a força (porque o campo no ponto não é nulo). A única possibilidade para a força ter módulo igual a zero é Q=0.(Isto é, a carga de prova deve ser nula; qualquer carga distinta de zero experimentará uma força não-nula porque \mathbf{E}_{\text{res}} em P é não-nulo.)

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{res}}(a,a)=\frac{kq}{a^{2}}\left(\,4+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\right)\hat{\mathbf{i}}+\frac{kq}{a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\hat{\mathbf{j}}
b) \displaystyle \mathbf{F}(a,a)=\frac{kqQ}{a^{2}}\left[\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\hat{\mathbf{j}}\right]
c) \displaystyle Q=0

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