Em 1922, Arthur Compton, após realizar experimentos sobre a interação da radiação com a matéria, percebeu que ao incidir feixes de raios
em um alvo de carbono, os feixes eram espalhados, porém tinham frequencias diferente da do feixe incidente (que dependiam do ângulo de espalhamento). O que não era compatível com a teoria ondulatória, pois a frequência de uma onda não é alterada por nenhum fenômeno que ocorra com onda, dependendo apenas da fonte que a produz. Para explicar o fenômeno observado, Compton interpretou os raios X como sendo feixes de partículas e a interação como sendo uma colisão.
Considere a colisāo de um fóton na regiāo dos raios
de energia
com um elétron em repouso de um alvo de carbono, 0 fóton é espalhado em um ângulo de 139 graus em relaçāo a direçāo incidente. Qual é o valor da energía de recuo (em eV) do elétron?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia de recuo (energia cinética adquirida) do elétron quando um fóton de raios
de energia
incide num elétron em repouso e é espalhado com ângulo
em relação à direção incidente.
Dados fornecidos relevantes:
Elétron inicialmente em repouso com massa
constantes fornecidas:
O que queremos: a energia de recuo do elétron (em eV).
Passo 2
Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- No espalhamento de Compton tratamos o fóton como partícula que troca energia e momento com o elétron. Pela conservação da energia, a energia perdida pelo fóton é ganha pelo elétron.
- Relação entre energia e comprimento de onda do fóton:
onde
é a energia do fóton,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz e
é o comprimento de onda do fóton. Aqui,
e
têm as mesmas unidades de energia.
- A fórmula do deslocamento de comprimento de onda de Compton (resultado da conservação de momento e energia) é
onde
é o comprimento de onda incidente,
o comprimento de onda espalhado,
a massa do elétron,
a velocidade da luz e
o ângulo de espalhamento do fóton.
- Vamos transformar a fórmula de deslocamento em uma relação entre energias (mais conveniente para trabalhar com keV). Usando
obtemos a relação entre a energia incidente e a energia espalhada :
Dessa igualdade, isolamos
:
- A energia de recuo do elétron (energia cinética adquirida) é simplesmente a diferença entre a energia inicial do fóton e a energia do fóton espalhado:
Passo 3
Derivação curta da fórmula usada (passo a passo matemático, para você saber usar na prova):
- Partimos de
. Para fóton espalhado e incidente:
- A diferença de comprimentos de onda:
- Igualando com a fórmula de Compton:
- Cancelamos
e multiplicamos por :
- Isolando
obtemos:
Essa é a fórmula prática que vamos aplicar com os números do enunciado.
Passo 4
Cálculo numérico — primeiro calculamos
nas unidades convenientes (eV), usando os valores dados:
Calculemos:
Convertendo para electronvolts usando
:
(Portanto, com os valores fornecidos,
.)
Passo 5
Calculamos agora o termo angular
. Como
, note que
. Usando valor aproximado
temos
portanto
Passo 6
Aplicamos a fórmula para a energia do fóton espalhado
. Primeiro o fator sem unidade
Multiplicando por
:
O denominador da fórmula de
é
Portanto
Passo 7
Agora calculamos a energia de recuo do elétron
:
Em unidades mais convenientes: