Em 1922, Arthur Compton, após realizar experimentos sobre a interação da radiação com a matéria, percebeu que ao incidir feixes de raios X em um alvo de carbono, os feixes eram espalhados, porém tinham frequencias diferente da do feixe incidente (que dependiam do ângulo de espalhamento). O que não era compatível com a teoria ondulatória, pois a frequência de uma onda não é alterada por nenhum fenômeno que ocorra com onda, dependendo apenas da fonte que a produz. Para explicar o fenômeno observado, Compton interpretou os raios X como sendo feixes de partículas e a interação como sendo uma colisão.
Considere a colisāo de um fóton na regiāo dos raios X de energia 40,0 \mathrm{keV} com um elétron em repouso de um alvo de carbono, 0 fóton é espalhado em um ângulo de 139 graus em relaçāo a direçāo incidente. Qual é o valor da energía de recuo (em eV) do elétron?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} J . s
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
e=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia de recuo (energia cinética adquirida) do elétron quando um fóton de raios X de energia 40,0\\ \mathrm{keV} incide num elétron em repouso e é espalhado com ângulo 139^\circ em relação à direção incidente.
Dados fornecidos relevantes:
E_{0}=40,0\\ \mathrm{keV}
\theta=139^\circ
Elétron inicialmente em repouso com massa
m_{e}=9,11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}
constantes fornecidas:
h=6,626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad c=3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},\quad e=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O que queremos: a energia de recuo do elétron (em eV).

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • No espalhamento de Compton tratamos o fóton como partícula que troca energia e momento com o elétron. Pela conservação da energia, a energia perdida pelo fóton é ganha pelo elétron.
  • Relação entre energia e comprimento de onda do fóton:
E=\frac{hc}{\lambda},
onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e \lambda é o comprimento de onda do fóton. Aqui, E e hc/\lambda têm as mesmas unidades de energia.
  • A fórmula do deslocamento de comprimento de onda de Compton (resultado da conservação de momento e energia) é
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{e}c}\,(1-\cos\theta),
onde \lambda é o comprimento de onda incidente, \lambda' o comprimento de onda espalhado, m_{e} a massa do elétron, c a velocidade da luz e \theta o ângulo de espalhamento do fóton.
  • Vamos transformar a fórmula de deslocamento em uma relação entre energias (mais conveniente para trabalhar com keV). Usando \lambda=hc/E obtemos a relação entre a energia incidente E_{0} e a energia espalhada E':
\frac{1}{E'}-\frac{1}{E_{0}}=\frac{1}{m_{e}c^{2}}\,(1-\cos\theta).
Dessa igualdade, isolamos E':
E'=\frac{E_{0}}{1+\dfrac{E_{0}}{m_{e}c^{2}}\,(1-\cos\theta)}.
  • A energia de recuo do elétron (energia cinética adquirida) é simplesmente a diferença entre a energia inicial do fóton e a energia do fóton espalhado:
K_{e}=E_{0}-E'.

Passo 3

Derivação curta da fórmula usada (passo a passo matemático, para você saber usar na prova):
  1. Partimos de \lambda=\dfrac{hc}{E}. Para fóton espalhado e incidente:
\lambda'=\frac{hc}{E'},\qquad \lambda=\frac{hc}{E_{0}}.
  1. A diferença de comprimentos de onda:
\lambda'-\lambda=\frac{hc}{E'}-\frac{hc}{E_{0}}=hc\left(\frac{1}{E'}-\frac{1}{E_{0}}\right).
  1. Igualando com a fórmula de Compton:
hc\left(\frac{1}{E'}-\frac{1}{E_{0}}\right)=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta).
  1. Cancelamos h e multiplicamos por 1/(hc):
\frac{1}{E'}-\frac{1}{E_{0}}=\frac{1}{m_{e}c^{2}}(1-\cos\theta).
  1. Isolando E' obtemos:
E'=\frac{E_{0}}{1+\dfrac{E_{0}}{m_{e}c^{2}}(1-\cos\theta)}.
Essa é a fórmula prática que vamos aplicar com os números do enunciado.

Passo 4

Cálculo numérico — primeiro calculamos m_{e}c^{2} nas unidades convenientes (eV), usando os valores dados:
m_{e}c^{2}=m_{e}c^{2}=9,11\times 10^{-31}\cdot(3,00\times 10^{8})^{2}.
Calculemos:
(3,00\times 10^{8})^{2}=9,00\times 10^{16},
m_{e}c^{2}=9,11\times 10^{-31}\times 9,00\times 10^{16}=8,199\times 10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para electronvolts usando 1\\ \mathrm{eV}=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}:
m_{e}c^{2}=\frac{8,199\times 10^{-14}}{1,6\times 10^{-19}}=5,124375\times 10^{5}\\ \mathrm{eV}=512,438\\ \mathrm{eV}.
(Portanto, com os valores fornecidos, m_{e}c^{2}\approx 512,4\\ \mathrm{keV}.)

Passo 5

Calculamos agora o termo angular 1-\cos\theta. Como \theta=139^\circ, note que \cos 139^\circ=-\cos 41^\circ. Usando valor aproximado
\cos 41^\circ\approx 0,75471,
temos
\cos 139^\circ\approx -0,75471,
portanto
1-\cos\theta=1-(-0,75471)=1,75471.

Passo 6

Aplicamos a fórmula para a energia do fóton espalhado E'. Primeiro o fator sem unidade
\frac{E_{0}}{m_{e}c^{2}}=\frac{40,0\\ \mathrm{keV}}{512,438\\ \mathrm{keV}}=\frac{40\,000\\ \mathrm{eV}}{512\,438\\ \mathrm{eV}}\approx 0,078084.
Multiplicando por 1-\cos\theta:
\dfrac{E_{0}}{m_{e}c^{2}}\,(1-\cos\theta)\approx 0,078084\times 1,75471\approx 0,13709.
O denominador da fórmula de E' é
1+0,13709=1,13709.
Portanto
E'=\frac{E_{0}}{1,13709}=\frac{40\,000\\ \mathrm{eV}}{1,13709}\approx 35\,187,6\\ \mathrm{eV}\approx 35,188\\ \mathrm{keV}.

Passo 7

Agora calculamos a energia de recuo do elétron K_{e}:
K_{e}=E_{0}-E' = 40\,000\\ \mathrm{eV}-35\,187,6\\ \mathrm{eV}=4\,812,4\\ \mathrm{eV}.
Em unidades mais convenientes:
K_{e}\approx 4,81\\ \mathrm{keV}.

Resposta

4,81\\ \mathrm{keV}

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