Questão 2 ( 0,5 pontos) - Para o estado
do átomo de Hidrogênio:
a) Quais são os valores possiveis de ?
b) Quais são os valores possiveis de
para cada valor de
?
(c) Levando em conta o fato de que existem dois estados quânticos para cada combinação de valores de
e
por causa do spin do elétron, determine o número total de estados na camada
.
(d) Dentre os valores possiveis de
, determine o menor ângulo que
pode fazer com o eixo
.
(e) Para o estado descrito no ítem (d) determine o módulo de
.
a) Quais são os valores possiveis de ?
b) Quais são os valores possiveis de
(c) Levando em conta o fato de que existem dois estados quânticos para cada combinação de valores de
(d) Dentre os valores possiveis de
(e) Para o estado descrito no ítem (d) determine o módulo de
Passo 1
Enunciado e perguntas claras. O enunciado dá que estamos no estado com número quântico principal
do átomo de Hidrogênio. As perguntas são:
(a) Quais são os valores possíveis de ?
(b) Para cada valor de , quais são os valores possíveis de
?
(c) Levando em conta que existem dois estados de spin por combinação , determine o número total de estados na camada
.
(d) Entre os valores possíveis de , determine o menor ângulo que
pode fazer com o eixo
.
(e) Para o estado do item (d), determine o módulo de .
(a) Quais são os valores possíveis de
(b) Para cada valor de
(c) Levando em conta que existem dois estados de spin por combinação
(d) Entre os valores possíveis de
(e) Para o estado do item (d), determine o módulo de
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas):
- O número quântico principal
é um inteiro positivo que determina a camada eletrônica; aqui . - O número quântico azimutal (momentum angular orbital) é
. Ele assume valores inteiros de até . Ou seja, só pode ser e assim sucessivamente até . Eu explico: isso vem da solução das equações de Schrödinger para o átomo de hidrogênio; não precisa decorar além de lembrar que começa em 0 e vai até . - O número quântico magnético
(às vezes escrito ) descreve a projeção de sobre o eixo . Para cada ele assume valores inteiros de até com passo 1. Ou seja, . Isso dá valores de para cada . - Valores próprios relevantes: o operador
tem autovalor , e tem autovalor . Aqui é a constante de Dirac reduzida. Em fórmula:
Explicação das variáveis:
é constante (valor numérico conhecido se precisar),
é o número quântico azimutal,
é o número quântico magnético. O módulo clássico análogo de
será
. A projeção
.
- Spin do elétron: o elétron tem spin fixo
, portanto para cada combinação há exatamente duas possibilidades de spin (spin up e spin down), ou seja, fator multiplicativo 2 ao contar estados.
Passo 3
Resposta à parte (a): calcular os valores possíveis de
para
.
Pelo que expliquei, vai de
até
. Assim para
temos
Pelo que expliquei,
Isso responde (a).
Passo 4
Resposta à parte (b): para cada
listar os
possíveis.
Regra: para cada ,
(inteiros). Então:
Regra: para cada
- Para
: . (pois valor) - Para
: . (pois valores) - Para
: . (pois valores)
Eu sempre verifico contando:
valores de
no total para
sem contar spin.
Passo 5
Resposta à parte (c): contar estados incluindo spin.
Sem spin, o total de estados para é a soma dos
para
:
Sem spin, o total de estados para
Com spin do elétron (duas orientações de spin por cada
), multiplicamos por 2:
Portanto existem
estados na camada
.
Passo 6
Resposta à parte (d): determinar o menor ângulo entre
e o eixo
entre as possibilidades dadas por
e
.
Relação geométrica (que vem da interpretação clássica da projeção): se e
, então o cosseno do ângulo
entre
e o eixo
satisfaz
Relação geométrica (que vem da interpretação clássica da projeção): se
Explicação: quanto maior for
(positivo), menor será
. Para obter o menor ângulo possível entre
e o eixo
devemos escolher a combinação admissível
que maximize
. Como
varia de
a
, o máximo de
para um dado
ocorre em
. Então para cada
o máximo de
é
Agora comparamos entre os
permitidos (
). Observação: para
temos
(ou melhor:
e o conceito de ângulo é trivial; o caso
significa momento angular nulo), então não é o mínimo de ângulo — de fato não há orientação preferencial. Para
:
. Para
:
. O maior
(logo menor
) ocorre para
com
.
Portanto o menor ângulo corresponde a
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calcular numericamente o menor ângulo
.
Temos . Então
Temos
Valor numérico aproximado:
Explicação rápida de como obter: pode usar tabela trigonométrica ou calculadora para
; é útil lembrar aproximacões:
e
.
Passo 8
Resposta à parte (e): módulo de
para o estado do item (d) (isto é,
).
Fórmula geral:
Fórmula geral:
Para
:
Se quiser um valor numérico em unidades SI, usando
, então
mas normalmente em física atômica deixamos na forma
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)