Questão 2 ( 0,5 pontos) - Para o estado n=3 do átomo de Hidrogênio:
a) Quais são os valores possiveis de ?
b) Quais são os valores possiveis de m para cada valor de \ell ?
(c) Levando em conta o fato de que existem dois estados quânticos para cada combinação de valores de \ell e m por causa do spin do elétron, determine o número total de estados na camada n=3.
(d) Dentre os valores possiveis de \ell, determine o menor ângulo que \overrightarrow{\mathrm{L}} pode fazer com o eixo z.
(e) Para o estado descrito no ítem (d) determine o módulo de \overrightarrow{\mathrm{L}}.

Passo 1

Enunciado e perguntas claras. O enunciado dá que estamos no estado com número quântico principal \;n=3\; do átomo de Hidrogênio. As perguntas são:
(a) Quais são os valores possíveis de \ell?
(b) Para cada valor de \ell, quais são os valores possíveis de m?
(c) Levando em conta que existem dois estados de spin por combinação (\ell,m), determine o número total de estados na camada \;n=3\;.
(d) Entre os valores possíveis de \ell, determine o menor ângulo que \overrightarrow{\mathrm{L}} pode fazer com o eixo z.
(e) Para o estado do item (d), determine o módulo de \overrightarrow{\mathrm{L}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • O número quântico principal \;n\; é um inteiro positivo que determina a camada eletrônica; aqui \;n=3.
  • O número quântico azimutal (momentum angular orbital) é \;\ell\;. Ele assume valores inteiros de 0 até \;n-1\;. Ou seja, \ell só pode ser 0,1,2,\dots e assim sucessivamente até \;n-1. Eu explico: isso vem da solução das equações de Schrödinger para o átomo de hidrogênio; não precisa decorar além de lembrar que \ell começa em 0 e vai até \;n-1.
  • O número quântico magnético \;m\; (às vezes escrito m_\ell) descreve a projeção de \overrightarrow{\mathrm{L}} sobre o eixo z. Para cada \ell ele assume valores inteiros de -\ell até \ell com passo 1. Ou seja, m\in\{-\ell,-\ell+1,\dots,0,\dots,\ell-1,\ell\}. Isso dá 2\ell+1 valores de m para cada \ell.
  • Valores próprios relevantes: o operador \hat{L}^2 tem autovalor \hbar^2\ell(\ell+1), e \hat{L}_z tem autovalor m\hbar. Aqui \hbar é a constante de Dirac reduzida. Em fórmula:
\hat{L}^2 \to \hbar^2 \ell(\ell+1),\qquad \hat{L}_z \to m\hbar.
Explicação das variáveis: \hbar é constante (valor numérico conhecido se precisar), \ell é o número quântico azimutal, m é o número quântico magnético. O módulo clássico análogo de \overrightarrow{\mathrm{L}} será |\overrightarrow{\mathrm{L}}|=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}. A projeção L_z=m\hbar.
  • Spin do elétron: o elétron tem spin fixo s=\tfrac{1}{2}, portanto para cada combinação (\ell,m) há exatamente duas possibilidades de spin (spin up e spin down), ou seja, fator multiplicativo 2 ao contar estados.

Passo 3

Resposta à parte (a): calcular os valores possíveis de \ell para \;n=3.
Pelo que expliquei, \ell vai de 0 até n-1. Assim para \;n=3\; temos
\ell\in\{0,\,1,\,2\}.
Isso responde (a).

Passo 4

Resposta à parte (b): para cada \ell listar os m possíveis.
Regra: para cada \ell, m=-\ell,-\ell+1,\dots,\ell-1,\ell (inteiros). Então:
  • Para \ell=0: m\in\{0\}. (pois 2\ell+1=1 valor)
  • Para \ell=1: m\in\{-1,\,0,\,1\}. (pois 2\ell+1=3 valores)
  • Para \ell=2: m\in\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2\}. (pois 2\ell+1=5 valores)
Eu sempre verifico contando: 1+3+5=9 valores de m no total para \;n=3\; sem contar spin.

Passo 5

Resposta à parte (c): contar estados incluindo spin.
Sem spin, o total de estados para \;n=3\; é a soma dos 2\ell+1 para \ell=0,1,2:
(2\cdot0+1)+(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)=1+3+5=9.
Com spin do elétron (duas orientações de spin por cada (\ell,m)), multiplicamos por 2:
\text{número total de estados} = 9\times 2 = 18.ú
Portanto existem 18 estados na camada \;n=3\;.

Passo 6

Resposta à parte (d): determinar o menor ângulo entre \overrightarrow{\mathrm{L}} e o eixo z entre as possibilidades dadas por \ell e m.
Relação geométrica (que vem da interpretação clássica da projeção): se |\overrightarrow{\mathrm{L}}|=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)} e L_z=m\hbar, então o cosseno do ângulo \theta entre \overrightarrow{\mathrm{L}} e o eixo z satisfaz
\cos\theta=\frac{L_z}{|\overrightarrow{\mathrm{L}}|}=\frac{m\hbar}{\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}}=\frac{m}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}.
Explicação: quanto maior for \cos\theta (positivo), menor será \theta. Para obter o menor ângulo possível entre \overrightarrow{\mathrm{L}} e o eixo z devemos escolher a combinação admissível (\ell,m) que maximize \cos\theta. Como m varia de -\ell a \ell, o máximo de \cos\theta para um dado \ell ocorre em m=\ell. Então para cada \ell o máximo de \cos\theta é
\cos\theta_{\max}(\ell)=\frac{\ell}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}=\sqrt{\frac{\ell}{\ell+1}}.
Agora comparamos entre os \ell permitidos ( 0,1,2). Observação: para \ell=0 temos \cos\theta=0/\sqrt{0}=0 (ou melhor: |\overrightarrow{\mathrm{L}}|=0 e o conceito de ângulo é trivial; o caso \ell=0 significa momento angular nulo), então não é o mínimo de ângulo — de fato não há orientação preferencial. Para \ell=1: \cos\theta=\sqrt{1/2}\approx0,7071. Para \ell=2: \cos\theta=\sqrt{2/3}\approx0,8165. O maior \cos\theta (logo menor \theta) ocorre para \ell=2 com m=2.
Portanto o menor ângulo corresponde a \ell=2 e m=2. Substituindo na fórmula:
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{2\cdot3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 7

Calcular numericamente o menor ângulo \theta.
Temos \cos\theta=\sqrt{\dfrac{2}{3}}. Então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
Valor numérico aproximado:
\theta\approx 35{,}264^\circ\quad\text{(ou)}\quad \theta\approx 0{,}61548\\ \text{rad}.
Explicação rápida de como obter: pode usar tabela trigonométrica ou calculadora para \operatorname{arccos}; é útil lembrar aproximacões: \sqrt{2/3}\approx0{,}8165 e \operatorname{arccos}(0{,}8165)\approx35{,}26^\circ.

Passo 8

Resposta à parte (e): módulo de \overrightarrow{\mathrm{L}} para o estado do item (d) (isto é, \ell=2).
Fórmula geral:
|\overrightarrow{\mathrm{L}}|=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}.
Para \ell=2:
|\overrightarrow{\mathrm{L}}|=\hbar\sqrt{2\cdot 3}=\hbar\sqrt{6}.
Se quiser um valor numérico em unidades SI, usando \hbar\approx1{,}054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, então
|\overrightarrow{\mathrm{L}}|\approx 1{,}054\times10^{-34}\times\sqrt{6}\\ \mathrm{J\cdot s}\approx 2{,}58\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
mas normalmente em física atômica deixamos na forma \hbar\sqrt{6}.

Resposta

(a) \ell\in\{0,\,1,\,2\}
(b) \ell=0:\;m=\{0\};\quad \ell=1:\;m=\{-1,0,1\};\quad \ell=2:\;m=\{-2,-1,0,1,2\}
(c) 18
(d) \theta_{\min}=\operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)\approx 35{,}264^\circ
(e) |\overrightarrow{\mathrm{L}}|=\hbar\sqrt{6}

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