Em 1922, Arthur Compton, após realizar experimentos sobre a interação da radiação com a matéria, percebeu que ao incidir feixes de raios X em um alvo de carbono, os feixes eram espalhados, porém tinham frequencias diferente da do feixe incidente (que dependiam do ângulo de espalhamento). O que não era compatível com a teoria ondulatória, pois a frequência de uma onda não é alterada por nenhum fenômeno que ocorra com onda, dependendo apenas da fonte que a produz. Para explicar o fenômeno observado, Compton interpretou os raios X como sendo feixes de partículas e a interação como sendo uma colisão.
Considere a colisão de um fóton na região dos raios X de comprimento de onda de 3.6 nm

Passo 1

O enunciado que você me mandou diz apenas que estamos na situação do efeito Compton e fornece o comprimento de onda do fóton incidente: \lambda=3{,}6\\ \mathrm{nm}.
Não há, porém, nenhuma pergunta explícita — por exemplo: calcular a energia do fóton? o deslocamento de Compton para um dado ângulo? a energia do elétron recoiling? — nada disso foi pedido.
Lista das informações úteis dadas:
\lambda_{\text{incidente}}=3{,}6\\ \mathrm{nm}.
Como o enunciado não faz uma pergunta, não posso entregar “a resposta final” de um pedido específico que não foi feito. Abaixo eu explico passo a passo a teoria e mostro como calcular várias quantidades que costumam ser pedidas num exercício sobre o efeito Compton, usando \lambda=3{,}6\\ \mathrm{nm} como dado.

Passo 2

O que é o efeito Compton (explicação passo a passo, sem pular etapas)?
  • Ideia física: trate o fóton como partícula com energia e momento. Quando um fóton incide num elétron (inicialmente em repouso), há conservação da energia e do momento. Isso leva a uma mudança no comprimento de onda do fóton espalhado que depende do ângulo de espalhamento.
  • Fórmula central (resultado da conservação de energia e momento): a variação do comprimento de onda do fóton é
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{e}c}\,\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde:
  • h é a constante de Planck ( 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • m_{e} é a massa de repouso do elétron ( 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \theta é o ângulo de espalhamento do fóton (ângulo entre fóton incidente e fóton espalhado),
  • \lambda é o comprimento de onda incidente e \lambda' o comprimento de onda espalhado.
  • Explicação rápida de onde vem: aplica-se conservação da energia
E + m_{e}c^{2} = E' + \sqrt{(p_{e}c)^{2} + (m_{e}c^{2})^{2}}
e conservação do momento vetorial \vec{p}=\vec{p}\,'+\vec{p}_{e}. Transformando essas equações (fazendo o produto escalar e eliminando o momento do elétron) chega-se à expressão acima para \Delta\lambda. Não pulei as ideias: usamos que para fótons E=pc=hc/\lambda e para o elétron a relação relativística energia–momento E_{e}^{2}=(p_{e}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}.

Passo 3

Cálculo da constante de Compton (o que aparece na fórmula):
\lambda_{C}=\frac{h}{m_{e}c}.
Agora numericamente:
\lambda_{C}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{9{,}10938356\times10^{-31}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}}\\ \mathrm{m} =2{,}426310238\times 10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Em unidades de nanómetros:
\lambda_{C}=2{,}426310238\times 10^{-3}\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}00242631\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo da energia e do momento do fóton incidente (passo a passo, para saber com o que estamos lidando):
Energia do fóton:
E=\frac{hc}{\lambda}.
Usando a forma prática hc\approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} (útil para obter eV diretamente):
E=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{3{,}6\\ \mathrm{nm}}=344{,}444\ldots\\ \mathrm{eV}\approx 344{,}44\\ \mathrm{eV}.
Em joules:
E=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}}{3{,}6\times10^{-9}}\\ \mathrm{J}\approx 5{,}518\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Momento do fóton:
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{3{,}6\times10^{-9}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\approx 1{,}8406\times 10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Exemplo típico pedido em exercícios: deslocamento máximo (retroespalhamento, \theta=180^\circ) e energia transferida ao elétron. Vou calcular isso com \lambda=3{,}6\\ \mathrm{nm}.
  • Deslocamento máximo:
\Delta\lambda_{\max}= \lambda_{C}(1-\cos 180^\circ)=\lambda_{C}(1-(-1))=2\lambda_{C}.
Numérico:
\Delta\lambda_{\max}=2\cdot 0{,}00242631\\ \mathrm{nm}=0{,}00485262\\ \mathrm{nm}.
  • Comprimento de onda espalhado (para \theta=180^\circ):
\lambda'=\lambda+\Delta\lambda_{\max}=3{,}6\\ \mathrm{nm}+0{,}00485262\\ \mathrm{nm}=3{,}60485262\\ \mathrm{nm}.
  • Energia do fóton espalhado:
E'=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda'}=\frac{1240}{3{,}60485262}\\ \mathrm{eV}\approx 343{,}98\\ \mathrm{eV}.
  • Energia transferida ao elétron (energia cinética do elétron, assumindo elétron inicialmente em repouso):
K_{e}=E-E'\approx 344{,}44\\ \mathrm{eV}-343{,}98\\ \mathrm{eV}\approx 0{,}46\\ \mathrm{eV}.
Observação numérica e física: a variação de comprimento de onda \Delta\lambda_{\max} é muito pequena comparada a \lambda (cerca de 0{,}13\% aqui), portanto a energia transferida também é pequena em comparação com a energia do fóton incidente — ainda assim é um efeito mensurável com instrumentos adequados.

Passo 6

Resumo didático (como usar isso numa prova):
  • Se te pedirem o deslocamento de Compton para um ângulo \theta, use diretamente
\Delta\lambda=\lambda_{C}(1-\cos\theta),
com \lambda_{C} calculada.
  • Se te pedirem energia do fóton, use E=hc/\lambda (ou E[\mathrm{eV}]=1240/\lambda[\mathrm{nm}]).
  • Se te pedirem energia do elétron, compute E' para o novo \lambda' e faça K_{e}=E-E'.
  • Não esqueça de verificar unidades (m ↔ nm) e de que h/(m_{e}c) é uma constante pronta para uso ( \lambda_{C}).
    Dica prática: para comprimentos de onda muito maiores do que \lambda_{C} (como 3{,}6 nm), o deslocamento é pequeno; para comprimentos de onda comparáveis a \lambda_{C} (raios X duros, raios \gamma muito energéticos), o efeito é mais pronunciado.

Passo 7

Conclusão sobre o enunciado original: como não foi feita uma pergunta específica, eu não posso dar “a resposta final do problema” porque não está claro o que precisa ser calculado. No entanto, eu já mostrei passo a passo as fórmulas e os cálculos mais comuns que se pedem num exercício de Compton usando \lambda=3{,}6\\ \mathrm{nm}: energia inicial, constante de Compton, deslocamento máximo, comprimento de onda espalhado no retroespalhamento e energia transferida ao elétron.

Resposta

Enunciado incompleto — não há pergunta formulada. Dado: \lambda=3{,}6\\ \mathrm{nm}.

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